Ubungsaufgaben

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected]
Übungsaufgaben
7. Übung SS 09: Woche vom 18. 5. - 22. 5. 2009
Partielle DGL, Teil VI (Numerik): s. Folie, bzw. Homepage Dr.
Scheithauer
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Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wahrscheinlichkeitsrechnung(= Stochastik) + Statistik (später)
Zufallssituation: Komplex von Bedingungen, bei dessen
Realisierung nicht voll vorhersagbare Ergebnisse eintreten
können (=
b Zufallsexperiment - s. Bärwolff)
Elementarereignis: elementarer Versuchsausgang e (ω) (genau
einer tritt ein) ⇒ Menge aller elementaren Versuchsausgänge:
sicheres Ereignis E (Ω, S) ⇒ unmögliches Ereignis ∅ (U )
Zufälliges Ereignis: (A, B) bei Realisierung der Zufallssituation
auftretendes Ereigniss ( aus Elementarereign. zusammengesetzt“).
”
Hauptziel: Berechnung der Wahrscheinlichkeit von zuf. Ereign.
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Operationen mit zuf. Ereignissen I
Summe zweier Ereignisse: A ∪ B
Produkt zweier Ereignisse: A ∩ B
Differenz zweier Ereignisse: A \ B
Komplementäres Ereignis Ā := E \ A
Mehrfache Summen und Produkte (endlich und(!) abzählbar
unendlich) :
A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An
= ∩ni=1 Ai ,
B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bn ∪ . . . = ∪∞
n=1 Bn
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Operationen mit zuf. Ereignissen II
De’Morgansche Regeln (auch mehrfach“, einschließlich
”
abzählbar unndlich vieler Mengen)
A ∪ B = Ā∩ B̄,
A ∩ B = Ā∪ B̄,
∪k Ak = ∩k Ak ,
∩k Ak = ∪k Ak ,
Def. 13.3: (Teilereignis, gleichwertiges Ereignis) Seien A, B
zufällige Ereignisse. Folgt aus dem Eintreten von A stets das
Eintreten von B, dann heißt A Teilereignis von B; A ⊆ B: A
zieht B nach sich (A ist Teilereignis von B). Gilt A ⊆ B und
B ⊆ A ⇔ A = B (A und B sind gleichwertig).
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Unvereinbarkeit, vollst. Ereignissystem
Def. 13.5: Gilt ∩k Ak = ∅ für endlich oder abzählbar viele zufällige
Ereignisse A1 , A2 , . . . , so nennt man A1 , A2 , . . . insgesamt
unvereinbare Ereignisse oder insgesamt disjunkte Ereignisse.
Die Ereignisse heißen paarweise unvereinbar oder paarweise
disjunkt, wenn Ai ∩ Aj = ∅ für i 6= j gilt.
Def. 13.6: Sind A1 , A2 , . . . , An zufällige Ereignisse (Ak ⊆ E), für
die gilt
a) Ai ∩ Aj = ∅ für i, j = 1, 2, . . . , n, i 6= j
Sn
b) k=1 Ak = E (sicheres Ereignis),
dann nennt man (A1 , A2 , . . . , An ) ein vollständiges System
paarweise unvereinbarer Ereignisse.
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Ereignisfeld, zufälliges Ereignis (Def. 13.4)
Eine Menge Z von Teilmengen einer Menge E von
Elementarereignissen heißt Ereignisfeld (oder Borelscher
Mengenkörper), wenn gilt:
a) E, ∅ ∈ Z (das sichere Ereignis E und das unmögliche Ereignis
∅ gehören zu Z)
b) Gehören die Ereign. A, B zu Z, dann auch die Differenz A \ B:
A, B ∈ Z ⇒ A \ B ∈ Z.
c) Gehören die Ereign. A1 , A2 , . . . zu Z (endlich oder abzählbar
unendlich viele), dann auch die Summe und das Produkt:
S
T
A1 , A2 , . . . ∈ Z ⇒ k Ak ∈ Z, k Ak ∈ Z.
Die Elemente von Z heißen zufällige Ereignisse.
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Wahrscheinlichkeit: Axiome von Kolmogoroff
Z sei ein Ereignisfeld. Jedem zufälligen Ereignis A ∈ Z lässt sich
eine reelle Zahl P (A) so zuordnen, dass die folgenden Bedingungen
erfüllt sind:
a) Für jedes A ∈ Z ist
0 ≤ P (A) ≤ 1
(Axiom I).
b) Dem sicheren Ereignis E ist die Zahl 1 zugeordnet:
P (E) = 1
(Axiom II).
c) Es gilt das Additionsaxiom: Sind A1 , A2 , . . . paarweise
unvereinbare Ereignisse aus Z, so gilt
X
[
P ( Ak ) =
P (Ak )
(Axiom III).
k
k
Die Zahl P (A) heißt Wahrscheinlichkeit des zufälligen Ereign. A.
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Folgerungen aus den Kolmog. Axiomen
P (∅) = 0, da 1 = P (E) = P (E∪Ē) = P (E)+P (∅), analog: P (Ā) = 1−P (A).
Monotonie: A ⊆ B ⇒ P (A) ≤ P (B) ⇒ P (∪nk=1 Ak ) ≤
n
X
P (Ak )
k=1
ZUSATZ
Das Additionstheorem (Axiom III) ist dem (sogenannten)
Stetigkeitsaxiom äquivalent:
Für Folge A1 , A2 , .. von zuf. Ereignissen sei jedes Ereignis
Teilereignis des vorhergehenden (d.h., Ai+1 ⊆ Ai , i = 1, 2, ..), und
diese Ereignisse sind insgesamt unvereinbar, d.h.,
∞
\
i=1
Ai = ∅.
Dann gilt:
lim P (An ) = 0.
n→∞
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Sind 2 Ereignisse unvereinbar, so P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
(Axiom III f. 2 Mengen), aber: Für beliebige 2 Ereignisse gilt
nur“:
”
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) ≤ P (A) + P (B)
Formel für P (A ∪ B): A ∪ B wird durch paarweise unvereinbare
Ereignisse dargestellt
A∪B
P (A ∪ B)
=
(A \ B) ∪ (B \ A) ∪ (A ∩ B), ⇒
= P (A \ B) + P (B \ A) + P (A ∩ B).
Offensichtlich gilt aber auch:
P (A)
= P (A \ B) + P (A ∩ B),
P (B)
= P (B \ A) + P (A ∩ B) ⇒
P (A ∪ B)
= P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
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Die 4 Grundaufgaben der Kombinatorik
Generell: Auswahl von k Elementen aus einer Grundgesamtheit der
Anzahl n
• Ohne Zurücklegen, ohne Beachtung
der Reihenfolge
n
(ungeordnet - Kombination):
Möglichkeiten
k
• Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge (geordnet n!
Möglichkeiten
Variation):
(n − k)!
• Mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge: nk
Möglichkeiten
• Mit Zurücklegen,
ohne Beachtung der Reihenfolge:
n+k−1
Möglichkeiten
k