¨Ubungsaufgaben

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected]
Übungsaufgaben
9. Übung SS 16: Woche vom 5. 6. – 10. 6. 2016
Stochastik III: Totale Wkt., S.v.Bayes, Diskrete ZG
Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow
http://www.math.tu-dresden.de/∼vanselow/. . . (SS16).html
Auch(dort): Aktuelle Hinweise zu Übungszusammenlegungen/
Raumveränderungen
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Wdhlg.: Unabhängigkeit von Ereignissen
Def. 13.8: Ein zufälliges Ereignis A heißt vom zufälligen Ereignis
B unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von
A unabhängig davon ist, ob B eingetreten ist oder nicht, d.h.
P (A|B) = P (A).
Folgerungen: a) aus Multiplikationstheorem:
P (A ∩ B) = P (A|B)P (B)
= P (A)P (B) = P (B|A)P (A) ⇒ P (B|A) = P (B)
Ist A von B unabhängig, so auch B von A.
b) Sind A, B unabhängig, so auch die Paare
(A, B̄), (Ā, B), (Ā, B̄)
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Wdhlg.: Unabhängigkeit in Mengensystemen
Def. 13.9: Die n zufälligen Ereignisse A1 , A2 , . . . , An heißen
insgesamt unabhängig, wenn für jedes m-Tupel (i1 , i2 , . . . , im )
von natürlichen Zahlen mit 1 ≤ i1 < i2 < · · · < im ≤ n gilt:
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aim ) = P (Ai1 )P (Ai2 ) . . . P (Aim ) .
Sie heißen paarweise unabhängig, wenn für jedes Indexpaar (i, j)
mit 1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j
die Ereignisse Ai und Aj unabhängig sind, also wenn gilt
P (Ai ∩ Aj ) = P (Ai )P (Aj ).
Konsequenz: P (
n
\
k=1
Ak ) =
n
Y
P (Ak ).
k=1
Insgesamt unabhängige Ereignisse sind auch paarweise unabhängig
(nicht umgekehrt).
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Anwendung Unabhängigkeit
Zuverlässigkeitstheorie ( Schaltalgebren; logische Verknüpfung“
”
von Ereignissen) P (Ai ) = pi , i = 1, 2, . . .
!
Parallelschaltung: B = A1 ∪ A2
Reihenschaltung: C = A1 ∩ A2
∪ A3 ∪ . . . An
!
∩ A3 ∩ . . . An
Grundformeln“ (beliebig kombinierbar in Komplex-Schaltungen):
”
P (A1 ∩ A2 )
= p1 p2 , P (A1 ∪ A2 ) = p1 + p2 − p1 p2 ,
P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ∩ A2 ) = (1 − p1 )(1 − p2 ) ⇒
n
n
Y
Y
pk , P (B) =
(1 − pk )
P (C) =
k=1
k=1
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Zusatz: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Beispiel 3 Urnen: U1: 3w/2r; U2: 2w/8r; U3: 0w/8r
B: gezogene Kugel ist weiß; Ai : Kugel ist aus Urne i
Beweis der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit P (A ∪ B|C):
!
P (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
P (A ∪ B|C) =
P (C)
=
P (A ∩ C) + P (B ∩ C) − P (A ∩ B ∩ C)
=
⇒
P (C)
P (A ∪ B|C) = P (A|C) + P (B|C) − P (A ∩ B|C)
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Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
Sei (A1 , A2 , . . . , An ) ein vollständiges System paarweise
unvereinbarer Ereignisse (s. Def.13.6). Dann gilt für ein beliebiges
zufälliges Ereignis B
n
[
B=
(B ∩ Ak ) ⇒ P (B) =
k=1
n
X
P (B ∩ Ak ),
k=1
weil die Mengen (B ∩ Ak ) ebenfalls paarweise unvereinbar sind.
⇒ P (B) =
n
X
P (B|Ak )P (Ak )
mit Multiplikationssatz
k=1
Das ist die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
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Der Satz von Bayes
Es interessieren auch P (Ai |B), i = 1, 2, 3 (Kugel aus Urne Ui , falls
gezogene Kugel weiß). Nach Multiplikationstheorem gilt
P (B ∩ Ak ) = P (B|Ak )P (Ak ) = P (Ak |B)P (B)
P (B|Ak )P (Ak )
⇒ P (Ak |B) =
P (B)
P (B|Ak )P (Ak )
⇒ P (Ak |B) = Pn
k=1 P (B|Ak )P (Ak )
Das ist die Formel von Bayes (Eine Folgerung aus dem Satz von
der totalen Wahrscheinlichkeit)
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Zufallsgrößen und Verteilungsfunktion
Häufig: Ergebnisse von Zufallsversuchen sind Zahlenwerte (werden
durch reelle Zahlen räpresentiert).
Def 13.10: Es sei E die Menge der bei einem Zufallsexperiment
möglichen Elementarereignisse e und Z ein Ereignisfeld
entsprechend Def. 13.4. Eine (eindeutige) reelle Funktion X(e), die
für alle e ∈ E definiert ist, heißt Zufallsgröße, wenn das Urbild
X −1 (I) eines beliebigen Intervalls I der Form ] − ∞, x[⊂ R ein
zufälliges Ereignis A ∈ Z ist.
Def 13.11: X sei eine Zufallsgröße. Die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass X einen Wert annimmt, der kleiner als x ist, heißt
Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion FX (x) von X:
FX (x) := P {X < x}.
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Eigenschaften einer Verteilungsfunktion
Satz 13.1: Eine Verteilungsfunktion F (x) = P {X < x} hat
folgende Eigenschaften:
a) F (x) ist monoton nichtfallend,
b) limx→−∞ F (x) = 0, limx→∞ F (x) = 1,
c) F (x) ist linksseitig stetig.
Jede Funktion mit diesen Eigenschaften ist Verteilungsfunktion
einer gewissen Zufallsgröße.
Konsequenz aus der Definition bzw. dem Satz:
P {x1 ≤ X < x2 } = F (x2 ) − F (x1 ) möglich:
P {−∞ ≤ X ≤ x2 } = F (x2 ) + P {X = x2 } > F (x2 )
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Würfeln (einfacher Wurf )
F(x)
1
1
6
1
2
3
4
5
6
x
Abbildung 13.6:
Verteilungsfunktion F (x) für das Beispiel Würfeln
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Diskrete Zufallsgrößen
Def.13.12: Eine Zufallsgröße X, die nur endlich oder abzählbar
viele Werte x1 , x2 , . . . annehmen kann, nennt man diskrete
Zufallsgröße; dabei wird vorausgesetzt, dass P {X = xk } = pk > 0
für k = 1, 2, . . . ist.
Für die Verteilungsfunktion ergibt sich unmittelbar
F (x) = P {X < x} =
X
k:xk <x
pk
∞
X
!
pk = 1
k=1
Wichtige diskrete Verteilungen ( praktisch relevant“):
”
m
n
Binomialvertlg. (endlich) pn (m) = Pn {X = m} = m p (1 − p)n−m
Poisson-Vertlg. (abzählbar) pk = P {X = k} =
λk −λ
k! e