K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected] Übungsaufgaben 9. Übung SS 13: Woche vom 10. 6. 13 - 14. 6. 2013 Stochastik III: Totale Wkt., S.v.Bayes, Diskrete ZG Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow http://www.math.tu-dresden.de/ ∼vanselow/Lehre SoS13/Uebungen SoS13/U 4 IJ11.html Auch(dort): Aktuelle Hinweise zu Übungszusammenlegungen/ Raumveränderungen Konsultationsmöglichkeit zur Klausurvorbereitung: Jeden Donnerstag ab 16.40 Uhr (6. DS) im Raum WIL C307 durch Frau Pfeifer K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected] Wdhlg.: Unabhängigkeit von Ereignissen Def. 13.8: Ein zufälliges Ereignis A heißt vom zufälligen Ereignis B unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A unabhängig davon ist, ob B eingetreten ist oder nicht, d.h. P (A|B) = P (A). Folgerungen: a) aus Multiplikationstheorem: P (A ∩ B) = P (A|B)P (B) = P (A)P (B) = P (B|A)P (A) ⇒ P (B|A) = P (B) Ist A von B unabhängig, so auch B von A. b) Sind A, B unabhängig, so auch die Paare (A, B̄), (Ā, B), (Ā, B̄) K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected] Wdhlg.: Unabhängigkeit in Mengensystemen Def. 13.9: Die n zufälligen Ereignisse A1 , A2 , . . . , An heißen insgesamt unabhängig, wenn für jedes m-Tupel (i1 , i2 , . . . , im ) von natürlichen Zahlen mit 1 ≤ i1 < i2 < · · · < im ≤ n gilt: P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aim ) = P (Ai1 )P (Ai2 ) . . . P (Aim ) . Sie heißen paarweise unabhängig, wenn für jedes Indexpaar (i, j) mit 1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j die Ereignisse Ai und Aj unabhängig sind, also wenn gilt P (Ai ∩ Aj ) = P (Ai )P (Aj ). Konsequenz: P ( n \ k=1 Ak ) = n Y P (Ak ). k=1 Insgesamt unabhängige Ereignisse sind auch paarweise unabhängig (nicht umgekehrt). K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected] Anwendung Unabhängigkeit Zuverlässigkeitstheorie ( Schaltalgebren; logische Verknüpfung“ ” von Ereignissen) P (Ai ) = pi , i = 1, 2, . . . ! Parallelschaltung: B = A1 ∪ A2 Reihenschaltung: C = A1 ∩ A2 ∪ A3 ∪ . . . An ! ∩ A3 ∩ . . . An Grundformeln“ (beliebig kombinierbar in Komplex-Schaltungen): ” P (A1 ∩ A2 ) = p1 p2 , P (A1 ∪ A2 ) = p1 + p2 − p1 p2 , P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ∩ A2 ) = (1 − p1 )(1 − p2 ) ⇒ n n Y Y pk , P (B) = (1 − pk ) P (C) = k=1 k=1 K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected] Zusatz: Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel 3 Urnen: U1: 3w/2r; U2: 2w/8r; U3: 0w/8r B: gezogene Kugel ist weiß; Ai : Kugel ist aus Urne i Beweis der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit P (A ∪ B|C): ! P (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) P (A ∪ B|C) = P (C) = P (A ∩ C) + P (B ∩ C) − P (A ∩ B ∩ C) = ⇒ P (C) P (A ∪ B|C) = P (A|C) + P (B|C) − P (A ∩ B|C) K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected] Formel der totalen Wahrscheinlichkeit Sei (A1 , A2 , . . . , An ) ein vollständiges System paarweise unvereinbarer Ereignisse (s. Def.13.6). Dann gilt für ein beliebiges zufälliges Ereignis B n [ B= (B ∩ Ak ) ⇒ P (B) = k=1 n X P (B ∩ Ak ), k=1 weil die Mengen (B ∩ Ak ) ebenfall unvereinbar sind. ⇒ P (B) = n X P (B|Ak )P (Ak ) mit Multiplikationssatz k=1 Das ist die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected] Der Satz von Bayes Es interessieren auch P (Ai |B), i = 1, 2, 3 (Kugel aus Urne Ui , falls gezogene Kugel weiß). Nach Multiplikationstheorem gilt P (B ∩ Ak ) = P (B|Ak )P (Ak ) = P (Ak |B)P (B) P (B|Ak )P (Ak ) ⇒ P (Ak |B) = P (B) P (B|Ak )P (Ak ) ⇒ P (Ak |B) = Pn k=1 P (B|Ak )P (Ak ) Das ist die Formel von Bayes (Eine Folgerung aus dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected] Zufallsgrößen und Verteilungsfunktion Häufig: Ergebnisse von Zufallsversuchen sind Zahlenwerte (werden durch reelle Zahlen räpresentiert). Def 13.10: Es sei E die Menge der bei einem Zufallsexperiment möglichen Elementarereignisse e und Z ein Ereignisfeld entsprechend Def. 13.4. Eine (eindeutige) reelle Funktion X(e), die für alle e ∈ E definiert ist, heißt Zufallsgröße, wenn das Urbild X −1 (I) eines beliebigen Intervalls I der Form ] − ∞, x[⊂ R ein zufälliges Ereignis A ∈ Z ist. Def 13.11: X sei eine Zufallsgröße. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X einen Wert annimmt, der kleiner als x ist, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion FX (x) von X: FX (x) := P {X < x}. K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected] Eigenschaften einer Verteilungsfunktion Satz 13.1: Eine Verteilungsfunktion F (x) = P {X < x} hat folgende Eigenschaften: a) F (x) ist monoton nichtfallend, b) limx→−∞ F (x) = 0, limx→∞ F (x) = 1, c) F (x) ist linksseitig stetig. Jede Funktion mit diesen Eigenschaften ist Verteilungsfunktion einer gewissen Zufallsgröße. Konsequenz aus der Definition bzw. dem Satz: P {x1 ≤ X < x2 } = F (x2 ) − F (x1 ) möglich: P {−∞ ≤ X ≤ x2 } = F (x2 ) + P {X = x2 } > F (x2 ) K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected] Würfeln (einfacher Wurf ) F(x) 1 1 6 1 2 3 4 5 6 x Abbildung 13.6: Verteilungsfunktion F (x) für das Beispiel Würfeln K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected] Diskrete Zufallsgrößen Def.13.12: Eine Zufallsgröße X, die nur endlich oder abzählbar viele Werte x1 , x2 , . . . annehmen kann, nennt man diskrete Zufallsgröße; dabei wird vorausgesetzt, dass P {X = xk } = pk > 0 für k = 1, 2, . . . ist. Für die Verteilungsfunktion ergibt sich unmittelbar F (x) = P {X < x} = X k:xk ∈I(x) pk ∞ X ! pk = 1 k=1 Wichtige diskrete Verteilungen ( praktisch relevant“): ” m n Binomialvertlg. (endlich) pn (m) = Pn {X = m} = m p (1 − p)n−m Poisson-Vertlg. (abzählbar) pk = P {X = k} = λk −λ k! e