Ubungsaufgaben

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected]
Übungsaufgaben
1. Übung: Woche vom 17.-21.10.16 (komplexe Zahlen):
Heft Ü1: 3.9 (a,b); 3.10, 3.12 (a-c); 3.13 (a-c);
3.2 (a,b,d); 3.3 (c,d,f)
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Wiederholung Komplexe Zahlen
• Definition (Imaginäre Einheit, konjugiert komplex, Betrag)
• Rechenregeln (C ist ein Zahlkörper)
• Darstellung in kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten,
Exponentialform
• Moivresche Formeln: n-te Potenz (eindeutig), n-te Wurzeln
(n-fach(!))
• Die Anordnungsaxiome der reellen Zahlen gelten nicht für
komplexe Zahlen(!) (x 6= y ∈ R ⇒ x < y ∨ y < x, aber:
4 − i ?? −3 + 2i - nicht vergleichbar“, in C existiert keine
”
natürliche“ Wohlordnung)
”
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Die GAUSSsche Zahlenebene (Buch, Kap. 1.7.2)
Im z
1
0
z=2+i
2 Re z
Abbildung 1.23: Komplexe Zahl z = 2 + i in der Zahlenebene
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Polarkoordinaten (goniometrische Form)
Im z
z=a+bi
r
φ
0
a
b
Re z
Abb. 1.24: a + bi = r(cos φ + i sin φ)
(r, φ) heißen Polarkoordinaten von z
(a, b) heißen kartesische Koordinaten von z
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Wdhlg.: EULERsche Formel
eiφ := cos φ + i sin φ,
speziell: eiπ = −1
Folgerung
z = a + bi = r(cos φ + i sin φ) = |z|eiφ
(Exponentialform)
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Wdhlg.: Multipl. komplexer Zahlen
(in goniometrischer Form)
Es seien z := reiφ und w := ρeiψ gegeben. Dann gilt
z · w = reiφ · ρeiψ = rρei(φ+ψ)
z
reiφ
r i(φ−ψ)
= iψ = · e
w
ρe
ρ
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Wdhlg.: Potenzieren und Radizieren
zn
z n := z| · z ·{z. . . · z}
n mal
heißt n − te Potenz von z ∈ C
Eine Zahl z ∈ C heißt n-te Wurzel der Zahl w ∈ C, falls
zn = w
Potenzieren und Radizieren komplexer Zahlen sinnvollerweise in
der goniometrischen Form (Polarkoordinaten) unter Benutzung des
Satzes von Moivre (Buch, Kap. 1.7.3)
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Wiederholung: Satz von Moivre
Satz 1.3: (de MOIVREsche Formeln) Sei n ∈ N, dann gilt
a) Die n-te Potenz von z = a + bi = r(cos φ + i sin φ) = reiφ ergibt
sich zu
z n = rn (cos(nφ) + i sin(nφ)) = rn einφ .
b) Für jede komplexe Zahl w = reiφ 6= 0 hat die Gleichung z n = w
genau n verschiedene Lösungen, nämlich die n n-ten Wurzeln
zk
=
√
n
√
φ
k2π
φ k2π
φ k2π
i( n
n
r(cos( +
) + i sin( +
)) = re + n )
n
n
n
n
für k = 0, 1, . . . , n − 1.
√
Die n-ten Wurzeln liegen auf einem Kreis mit dem Radius n r um
den Nullpunkt der Gaußschen Zahlenebene und bilden ein
regelmäßiges n-Eck.
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Im z
α1
α2
5_π
6
α0
_
π
6
-1
0
1
Re z
α5
α3
α4
Abb. 1.32: Die 6. Wurzeln der Zahl w = −1 = 1 · eiπ
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Polynom n-ten Grades über C
pn (x) := an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
a0 , a1 , . . . , an ∈ C, n ∈ N gegeben
α ∈ C heißt Nullstelle von pn , wenn pn (α) = 0
Fundamentalsatz der Algebra (Buch, Kap. 1.7.4)
Es gibt mindestens eine Zahl α ∈ C, so dass
pn (α) = 0.
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Fundamentalsatz der Algebra (äquivalente Form)
Das Polynom pn besitzt n Nullstellen α1 , . . . , αn ∈ C und es gilt die
folgende Zerlegung in Linearfaktoren
pn (x) = an
n
Y
(x − αj ).
j=1
Fasst man die Linearfaktoren von ein und derselben Nullstelle
jeweils zusammen, so hat man
pn (x) = an
r
Y
(x − αi )mi ,
i=1
wobei mi (i = 1, . . . , r) die Vielfachheiten der r paarweise
r
P
verschiedenen Nullstellen α1 , . . . , αr bezeichnet und
mi = n.
i=1
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Polynome mit rellen Koeffizienten
Falls alle Koeffizienten eines Polynoms p reelle Zahlen sind und p
die Nullstelle α ∈ C mit Imα 6= 0 besitzt, so ist auch α Nullstelle
von p, d.h.
p(α) = 0 ∧ Im α 6= 0
⇒
p(α) = 0
Bemerkung: Das Produkt der Faktoren
(x − α)(x − α) = x2 − 2Re αx + |α|2
ergibt einen im Reellen irreduziblen quadratischen Faktor (d.h.,
keine reelle Nullstelle) für das Polynom p.
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Zum Fundamentalsatz (noch ein Beispiel)
p(z) = 4z 7 + 4 = 4(z 7 + 1) = 4(z + 1)(z 6 − z 5 + z 4 − z 3 + z 2 − z + 1) =
3π
5π
π
+ 1)(z 2 − 2 cos
+ 1)(z 2 − 2 cos
+ 1).
7
7
7
Die Wurzeln von z 7 + 1 sind (|zk | = 1, k = 0, 1, . . . , 6):
= 4(z + 1)(z 2 − 2 cos
π
z0 = ei 7 ,
z1 = e
i 3π
7
z2 = e
i 5π
7
,
,
13π
7
= e−i 7 ,
i 11π
7
−i 3π
7
,
z5 = z1
−i 5π
7
,
z4 = z2
z6 = ei
z5 = e
z4 = e
π
=e
i 9π
7
=e
i 7π
7
= −1
z3 = e
z6 = z0
Relles“ Polynom = Produkt aus Linear- und quadratischen
”
Faktoren (rell, irreduzibel)
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Das HORNERschema (zur Berechnung von p(x0 ))
+
x0 ∗
Es sei
an
an−1
...
a1
a0
0
bn x0
...
b2 x0
b1 x 0
bn %
bn−1 %
··· %
b1 % b0 = p(x0 ).
bn
:= an ,
bi
:= ai + bi+1 x0 ,
n−1
P
bi+1 xi .
:=
g(x)
(i = n − 1, . . . , 0),
i=0
Dann gilt
p(x)
=
g(x)(x − x0 ) + b0 ,
p(x0 )
=
b0 ,
p0 (x0 )
=
g(x0 ).
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Mit dem Hornerschema kann man
• den Funktionswert p(x0 ) effizient berechnen (geringstmögliche
Anzahl an Elementaroperationen)
• die Polynomdivision mit Rest“ berechnen (Euklidischer
”
Algorithmus)
• die Darstellung (Entwicklung) des Polynoms in Potenzen von
(x − x0 ) (x0 6= 0) berechnen
• die Ableitung p0 (x0 ) berechnen.
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Funktionen (Grundbegriffe I)
• Eine Funktion f : D → V ist eine Vorschrift, die jedem
Element x aus D eindeutig ein Element y aus V zuordnet.
• Anstelle des Begriffs Funktion verwenden wir auch den
gleichwertigen Begriff Abbildung.
• Um die Abhängigkeit des Bildes y von x auszudrücken schreibt
man auch y = f (x).
• Die Menge D heißt Definitionsbereich der Funktion f und
wird auch mit D(f ) bezeichnet.
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Funktionen (Grundbegriffe II)
Für A ⊆ D bezeichnen wir
f (A) := {y ∈ V | es gibt ein x ∈ A mit y = f (x)}
als Bildmenge von A. Speziell heißt
W := W (f ) := f (D)
Wertebereich oder Wertevorrat von f .
Für B ⊆ V wird
f −1 (B) := {x ∈ D | f (x) ∈ B}
(vollständige) Urbildmenge von B genannt.
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Funktionen (Grundbegriffe III)
Eine Funktion f : D → V heißt
• injektiv (eineindeutig), falls
x 6= y
⇒
f (x) 6= f (y)
für beliebige x, y ∈ D gilt,
• surjektiv, falls
W (f ) = V,
• bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.
Zwei Funktionen f : D(f ) → V (f ) und g : D(g) → V (g) sind
genau dann gleich, wenn
D(f ) = D(g)
und
f (x) = g(x) für alle x ∈ D(f ).
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Sei D ⊆ R. Dann heißt eine Funktion
f :D→R
reellwertige Funktion einer reellen Veränderlichen.
θ
θ
−10
−10
−15
−15
0
5
10
15
20
t
0
5
10
15
20
t
Abb. 2.1: Temperaturmessrei- Abb. 2.2: Messreihe linear inhe diskret
terpoliert