Seminar zur Vorlesung Physik I für Naturwissenschaftler

Seminar zur Vorlesung
Physik I für Naturwissenschaftler
Wintersemester 2014/15
Aufgabe 23 ∗
Blatt 9
8.12.2014
Rollende Kugeln
Eine Vollkugel mit dem Radius R, die aus einem Material mit der Dichte ρ besteht, rollt
ohne Anfangsgeschwindigkeit unter dem Einfluss der Schwerkraft eine schiefe Ebene mit
dem Neigungswinkel α hinunter.
a) Welche Geschwindigkeit vS hat der Schwerpunkt der Kugel, nachdem er auf der
schiefen Ebene die Strecke ℓ zurückgelegt hat?
(1 Punkt)
b) Wir ersetzen die Vollkugel durch eine Hohlkugel mit demselben Außenradius R und
dem Innenradius R/2 aus dem gleichen Material. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment dieser Hohlkugel.
(1 Punkt)
Hinweis: Überzeugen Sie sich zunächst, dass man bei zusammengesetzten Körpern
Trägheitsmomente bezüglich einer Drehachse addieren darf (Vollkugel
= Hohlkugel + Innenkugel).
c) Wir lassen diese Hohlkugel ebenfalls ohne Anfangsgeschwindigkeit dieselbe schiefe
Ebene herunterrollen. Welche Geschwindigkeit hat der Schwerpunkt der Hohlkugel,
nachdem er auf der schiefen Ebene die Strecke s zurückgelegt hat? Rollt die Hohlkugel schneller oder langsamer als die Vollkugel?
(1 Punkt)
Aufgabe 24
Physikalisches Pendel
D
ϕ
d
S
mg
Abb. 1: Physikalisches Pendel
Der starre Körper aus Abb. 1 mit einer festen
Drehachse D und dem Schwerpunkt S, der den
Abstand d von der Drehachse hat, schwingt im
Schwerefeld der Erde um D. Die Orientierung des
starren Körpers beschreiben wir durch den Winkel
ϕ. Der starre Körper hat die Masse m und das
Trägheitsmoment ID bezüglich der Drehachse D.
a) Welches Drehmoment wirkt auf den starren
Körper, wenn er um den Winkel ϕ aus der
Gleichgewichtslage ausgelenkt ist? (1 Punkt)
b) Stellen Sie eine Bewegungsgleichung für den Winkel ϕ auf und bringen Sie Ihr Ergebnis auf die Form
mgd
sin ϕ = 0 .
ϕ̈ +
(1 Punkt)
ID
c) Für kleine Winkel ϕ gilt (im Bogenmaß!)
sin ϕ ≈ ϕ .
Mit welcher Eigenfrequenz ω0 schwingt demzufolge der starre Körper für den Fall
kleiner Auslenkungswinkel ϕ?
(1 Punkt)
d) Bestimmen Sie die Eigenfrequenz ω0 für folgende Systeme:
1. Ein Massenpunkt mit der Masse m im Abstand ℓ von der Drehachse (mathematisches Pendel ).
2. Eine Vollkugel mit der Masse m und dem Radius R. Die Drehachse geht durch
den Rand der Kugel.
3. Zwei Massen m1 und m2 = 3 m1 , die durch eine starre, masselose Stange miteinder verbunden sind. Die Drehachse geht senkrecht durch diese Stange und
(2 Punkte)
hat den Abstand 13 ℓ von m1 und 23 ℓ von m1 .
∗
Diese Aufgabe sollten Sie versuchen alleine zu lösen.