¨Ubung Stochastik I

B. Schmalfuß
Paderborn, den 6.01.09
Übung Stochastik I
(10. Serie)
Wahrscheinlichkeitstheorie: Asymptotische Eigenschaften von
Zufallsvariablen
(I) Man zeige, dass aus der Konvergenz in Wahrscheinlichkeit die Konvergenz in
Verteilung folgt.
(II) Bevor die Normalverteilung aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes für die
Modellierung von Messfehlern populär wurde, gab es eine Reihe verschiedener Hypothesen über deren Verteilungsdichte f :
• Laplace (1774):
• Lagrange (1775):
1
exp(− |x|
f (x) = 2α
α ) · 1R (x),
f (x) = α cos(2αx) · 1[−π/4α,+π/4α] (x),
α ∈ R+ .
α ∈ R+ .
Ermitteln sie die Konstanten α jeweil so, dass die Verteilungen Varianz 1 haben.
Mit dieser Wahl von α: Vergleichen Sie in jedem der beiden Fälle die Wahrscheinlichkeit, dass ein Messfehler vom Betrag nicht größer als eine Standardabweichung
ist, mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit für die Standard-Normalverteilung.
(1) Eine Folge von Zufallvariablen (Xn )n∈N konvergiert in Verteilung gegen eine
Zufallsvariable, die fast sicher konstant ist. Konvergiert diese Folge auch in Wahrscheinlichkeit gegen diese Zufallsvariable?
(2) Mit einem Startkapital von 1 Euro spielen Sie das folgende Glücksspiel: Wenn
vor der n. Runde Ihr Kapital Kn−1 beträgt, dann erhalten Sie in der n. Runde
nach dem Wurf einer fairen Münze den Geldbetrag 23 Kn−1 , sofern Zahl erscheint,
andernfalls verlieren sie den Betrag 12 Kn−1 .
n→∞
a) Berechnen Sie EKn und überzeugen Sie sich, dass EKn → ∞.
p
b) Zeigen Sie, dass Kn → 0.
Hinweis: Für n ∈ N ist Kn = Y1 · . . . · Yn mit
5
3 , falls in der i. Runde Zahl erscheint
Yi =
1
2 , falls in der i. Runde Kopf erscheint.
Wenden Sie das Gesetz der großen Zahlen auf Zi = ln Yi an.
(3) Sei (Yn )n∈N0 ein Supermartingal und (Mn )n∈N0 eine Folge nichtnegativer, beschränkter Zufallsgrößen, die bezüglich der Folge (An )n∈N0 mit An = σ(Y0 , . . . , Yn )
prognostizierbar ist. Dann ist ((M · Y )n )n∈N0 ein Supermartingal.
Ist (Yn )n∈N0 ein Submartingal, dann auch ((M · Y )n )n∈N0 .
1
Ist (Yn )n∈N0 ein Martingal, dann auch ((M · Y )n )n∈N0 . In diesem Fall ist die Voraussetzung der Nichtnegativität von ((M )n )n∈N0 unnötig.
(4) Es seien X1 , X2 , . . . unabhängige, N(0,1)-verteilte Zufallsgrößen. Man setze
n
P
Xk
Yn :=
k und untersuche (Yn )n∈N auf fast sichere Konvergenz.
k=1
(5) Es sei X0 = 0 f.s. und für alle k ∈ N
P (Xk = +1|Xk−1 = 0) = P (Xk = −1|Xk−1 = 0) =
P (Xk = 0|Xk−1 = 0) = 1 −
1
,
2k
1
k
sowie
1
1
, P (Xk = 0|Xk−1 6= 0) = 1 −
k
k
a) Zeigen sie, dass es sich bei (Xn )n∈N0 um ein Martingal bezüglich der Filtration
(An )n∈N0 handelt, wobei An = σ(X0 , . . . , Xn ) ist.
b) Konvergiert (Xn )n∈N0 nach Wahrscheinlichkeit?
P (Xk = k · Xk−1 |Xk−1 6= 0) =
Abgabe der Aufgaben bis zum Dienstag, 13.01.09, 16 Uhr im roten Kasten Nr.5