technische universität münchen - Mathematische Physik

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. M. Wolf
Dr. M. Prähofer
Mathematik für Physiker 3
(Analysis 2)
Sommersemester 2012
Blatt 1
(23.04.2012)
http://www-m5.ma.tum.de/Allgemeines/MA9203 2012S
Hausaufgaben
1. Beispiele für Inneres, Abschluss und Rand
Geben Sie jeweils Inneres, Abschluss und Rand für folgende Teilmengen des R2 mit euklidischer Metrik an und begründen Sie falls nötig.
(c) R × {0},
(d) R × Q,
(a) [0, 1)2 ,
(b) [0, ∞)2 ,
(e) {x ∈ R2 | kxk ∈ [0, 1] ∪ ([1, 2] ∩ Q)},
(f) {(x, sin x1 )|x ∈ R+ }.
2. Eigenschaften stetiger Bilder und Urbilder
Geben Sie jeweils ein (möglichst einfaches) Beispiel an für eine stetige Abbildung
f : M → N zwischen den topologischen Räumen M, N und
(a)
(b)
(c)
(d)
eine
eine
eine
eine
offene Menge O ⊆ M , deren Bild nicht offen ist,
abgeschlossene Menge A ⊆ M , deren Bild nicht abgeschlossen ist,
kompakte Menge K ⊆ N , deren Urbild nicht kompakt ist,
zusammenhängende Menge Z ⊆ N , deren Urbild nicht zusammenhängend ist.
3. Unstetigkeit der Umkehrfunktion
Seien M, N metrische Räume. Ist f : M → N stetig und bijektiv und M kompakt, so ist
f −1 stetig. Ist M nicht kompakt, gibt es Gegenbeispiele:
(a) Man gebe eine stetige bijektive Funktion von (−π, π] nach S 1 = {z ∈ C| |z| = 1} ⊆ C
an, deren Umkehrabbildung nicht stetig ist.
(b) Man gebe eine stetige bijektive Funktion von (−π, 2π) auf eine Teilmenge von C an,
deren Umkehrabbildung nicht stetig ist. Hinweis: Man denke an eine gezeichnete 6.
4. Die stereographische Projektion der Einheitssphäre
Sei S 2 := {x ∈ R3 | kxk = 1} die 2-dimensionale Einheitssphäre. Gegeben ist die Funktion
1
f˜ : {(x, y, z) ∈ R3 |z > −1} → R2 , (x, y, z) 7→ 1+z
(x, y).
(a) Begründen Sie anhand einer Skizze, dass f˜ den Punkt (x, y, z) entlang der Geraden
durch den Punkt (0, 0, −1) auf die xy-Ebene projiziert.
(b) Warum ist f := f˜|S 2 stetig?
2
2
−v )
(c) Zeigen Sie das g : R2 → S 2 \ {(0, 0, −1)}, g(u, v) = (2u,2v,1−u
die Umkehrabbil1+u2 +v 2
dung von f ist.
(d) Folgern Sie: die punktierte Sphäre S 2 \ {(0, 0, −1)} ist homöomorph zur Ebene R2 .
5. Erweiterung der natürlichen Zahlen
b := N ∪ {∞} und O := {A ⊆ N
b | ∞ ∈ A ⇒ ∃n ∈ N : N + n ⊆ A}.
Sei N
b O) ist ein topologischer Raum.
(N,
b
Charakterisieren Sie in Worten die abgeschlossenen Mengen in N.
b O) ist ein Hausdorff-Raum.
(N,
b → R, f (n) = 1 falls n ∈ N, f (∞) = 0, ist stetig.
Die Funktion f : N
n
b → f (N)
b ist ein Homöomorphismus.
(e) f˜ : N
Abgabe der Hausaufgaben: 30.04.2012, bis 12:00 im Briefkasten oder zu Beginn der Zentralübung
Schreiben Sie bitte Blattnummer und Ihre Tutorgruppe deutlich auf Ihre Lösungen.
(a)
(b)
(c)
(d)