¨Ubungen zur Vorlesung Stochastik 2 (Wahrscheinlichkeitstheorie)

Übungen zur Vorlesung Stochastik 2
(Wahrscheinlichkeitstheorie)
Priv. Doz.-Dr. Jan Kallsen, Dr. Hans Mittermeier
SS 2003 - Blatt 5
Abgabe der mit H gekennzeichneten Aufgaben:
Dienstag, 13.Mai 2003, vor der Vorlesung.
Aufgabe 1
Sei X eine nicht-negative ZV. Falls E(X) < ∞, dann gilt für E(X) folgende Einrahmung:
1+
∞
X
P (X ≥ n) > E(X) ≥
n=1
∞
X
P (X ≥ n).
n=1
Zeigen Sie weiter: Hat X Werte in N, dann gilt in der Formel Gleichheit. Anwendung: Seien
(Xn )n≥1 unabhängige, identisch verteilte (u.i.v) integrierbare, reelle ZVen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und τ : Ω → N eine ZV mit
{τ = n} ∈ σ(X1 , . . . , Xn ) für alle n ≥ 1.
Zeigen Sie: Ist E(τ ) < ∞ und S(ω) =
Pτ (ω)
k=1
Xk (ω), so ist S integrierbare ZV und es gilt:
E(S) = E(X1 ) E(τ ).
Aufgabe 2
Für die Konvergenz der Folge (Xn )n≥1 ⊂ L1 (Ω,RA, P ) von reellen
ZVen gegen die ZV X ∈
R
1
L (Ω, A, P ) ist notwendig und hinreichend, daß A Xn dP → A X dP gleichmäßig in A ∈ A
für n → ∞.
Aufgabe 3
Es sei X eine auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) definierte integrierbare,reelle ZV.
Zeigen Sie, daß es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt , so daß für alle A ∈ A mit P (A) < δ gilt:
Z
|X| dP < ε.
A
Aufgabe 4 ( Unabhängigkeit nach Klumpung)
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Ei )i∈I eine Familie von Teilmengensystemen
Ei ⊂ A. Dann heißt (Ei )i∈I unabhängig, falls für alle endlichen I0 ⊂ I gilt:
\
Y
P(
Ai ) =
P (Ai ) für alle Ai ∈ Ei .
i∈I0
i∈I0
Zeigen
S Sie: Seien (Ei )i∈I unabhängig, Ei ∩-stabil und I = ∪j∈J Ij eine Partition von I. Dann ist
(σ( i∈Ij Ei ))j∈J unabhängig.
Bitte wenden
Aufgabe 5
Für eine reellwertige, auf (Ω, A, P ) definierte ZV X zeige man:
a ) Ist das Paar (X, X) unabhängig, so ist X P -f.s. konstant.
P
b ) Seien X1 , . . . , XN unabhängige, reellwertige ZVen auf (Ω, A, P ). Dann ist N
i=1 Xi genau
dann P -f.s. konstant, falls für jedes i ∈ {1, . . . , N } die ZV Xi P -f.s. konstant ist.
c ) Sei (Xn )n≥1 eine Folge von u.i.v. ZVen auf (Ω, A, P ), die nicht konstant sind. Dann ist
P (Xn konvergiert) = P (SN konvergiert) = 0
mit SN :=
PN
i=1
Xn .
Hausaufgaben
Aufgabe H 1
Seien X1 , . . . , XN und Y1 , . . . , YN unabhängige ZVen mit Werten in {0, 1} derart, daß
P [Xi = 1] = p ,
P [Yi = 1] = q ,
1 ≤ i ≤ N,
0 < p, q < 1 .
Berechnen Sie die Verteilung von
N
X
Xi Yi
und
i=1
für T =
PN
i=1
T
X
Yi
i=1
Xi .
Aufgabe H 2
Eine faire Münze wird zwanzigmal geworfen. Es wird angenommen, daß die Würfe stochastisch
unabhängig sind. Gegeben, daß zwölfmal Wappen gefallen ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß
a.) der erste Wurf Wappen ergibt
b.) die beiden ersten Würfe Wappen ergeben
c.) im Verlaufe der ersten fünf Würfe mindestens zweimal Wappen auftritt?
Aus Stochastik 1 wird die elementare Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit vorausgesetzt.
Aufgabe H 3
X, Y seien zwei normalverteilte ZVen mit Erwartungswert 0 und Varianz 1.
a ) Zeigen Sie: Sind X und Y unabhängig, dann ist die ZV (X, Y ) ein normalverteilter Vektor
und damit ist auch die ZV X + Y normalverteilt; man bestimme die Momente von X + Y .
b ) Es sei jetzt S eine von X unabhängige ZV mit P [S = 1] = P [S = −1] = 1/2. Zeigen Sie,
daß die ZV Z = S X normalverteilt ist, daß jedoch X + Z nicht normalverteilt ist und
daher auch (X, Z) ein Vektor ist, der nicht normalverteilt ist.
c ) Zeigen Sie schließlich: Kov(X, Z) = 0 , aber X und Z sind nicht unabhängig.