Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Universität des Sarlandes
Ch. Bender
13. Mai 2009
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
4. Übungsblatt
1. Konstruieren Sie einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 2Ω , P ) und Ereignisse
A, B, C ⊂ Ω derart, dass
P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C)
gilt, aber die Familie (A, B, C) nicht stochastisch unabhängig ist.
(3 Punkte)
2. Es seien X1 , . . . , Xn unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 2Ω , P ). Die Zufallsvariable
n
1X
pn (ω; ξ) =
1{ω;Xi (ω)=ξ}
n i=1
für ξ ∈ X1 (Ω) wird empirische Verteilung genannt. Schätzen Sie
P ({ω; |pn (ω; ξ) − P ({X1 = ξ})| ≥ })
mit Hilfe des Gesetzes der großen Zahlen ab.
(4 Punkte)
3. Verwenden Sie den zentralen Grenzwertsatz von de Moivre/Laplace im Kontext von
Aufgabe 3.4 b), um die ungefähre Anzahl der zu befragenden Personen zu bestimmen.
Hinweis: Φ(2.3263) = 0.99.
(2 Punkte)
4. Ein fairer Würfel wird 12000 Mal hintereinander geworfen. Bestimmen Sie mit Hilfe
des zentralen Grenzwertsatzes approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 1800
und 2100 Würfe eine 6 zeigen. (3 Punkte)
5. An einer Wahl zwischen den Kandidaten A und B nehmen 1 000 000 Wähler teil. 2000
davon werden sicher den Kandidaten A wählen. Die anderen sind unentschlossen und
treffen ihre Entscheidung unabhängig voneinander durch Werfen einer fairen Münze.
Wie groß ist approximativ die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg von A? (4 Punkte)
Abgabe: Mi., 20.Mai 2009