Ubungen zur Modellbildung in der Stochastik - Heinrich

WS 06/07
18.12.2006
Mathematisches Institut
der Heinrich-Heine-Universität
Düsseldorf
Blatt 9
Prof. Dr. F. Jarre / K. Hauk / H. Ünlü
Übungen zur Modellbildung in der Stochastik
Aufgabe 33: Sei X ≥ 0 eine reelle Zufallsvariable.
Berechnen Sie in den folgenden Fällen für Y := exp(X) die Erwartungswerte E(Y ) und
E(Y 2 ) (falls sie existieren):
a) X ist geometrisch verteilt zum Parameter p ∈ (0, 1), d.h.
P (X = k) = (1 − p)pk für k ∈ N0 .
b) X ist exponential-verteilt zum Parameter λ > 0.
Aufgabe 34: (Macht entschlossener Minderheiten)
An einer Wahl zwischen den beiden Kandidaten A und B nehmen 1000000 Wähler teil.
2000 Wähler unterwerfen sich der Parteidisziplin und stimmen geschlossen für Kandidat
A. Die übrigen 998000 Wähler sind mehr oder weniger unentschlossen und treffen ihre
Entscheidung unabhängig voneinander durch Werfen einer Münze. Bestimmen Sie mittels
des zentralen Grenzwertsatzes approximativ die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg von
Kandidat A.
Aufgabe 35: Ein Medikament, das mit Wahrscheinlichkeit 0.1 eine Nebenwirkung besitzt,
wird an 100 Patienten verabreicht. Die Zufallsvariable X gebe die Anzahl der Patienten
mit der Nebenwirkung an. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei mindestens 7
und höchstens 13 Patienten die Nebenwirkung auftritt, d.h. die Wahrscheinlichkeit P ({7 ≤
X ≤ 13})
a) approximativ mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes ohne Stetigkeitskorrektur.
b) approximativ mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes mit Stetigkeitskorrektur.
c) Geben Sie mit Hilfe der Tschebyscheff-Ungleichung eine (best mögliche) untere Schranke für die gesuchte Wahrscheinlichkeit an.
Aufgabe 36:
a) Zeigen Sie
−n
lim e
n→∞
n
X
nk
k=0
1
= ,
k!
2
indem Sie den zentralen Grenzwertsatz auf eine Folge stochastisch unabhängiger identisch zum Parameter 1 Poisson-verteilter Zufallsvariablen anwenden.
(Hinweis: Sind die Zufallsvariablen Xk , k = 1, . . . , n, stochastisch unabhängig und
P
Poisson-verteilt zum Parameter λk , so ist nk=1 Xk Poisson-verteilt zum Parameter
Pn
k=1 λk .)
b) Es ist ein Erfahrungswert, dass etwa 4% der Inhaber von Flugtickets nicht zum Abflug
ihrer Maschine erscheinen. Für einen Flug mit 264 Sitzen verkauft eine Fluggesellschaft
deshalb 270 Tickets. Mit welcher approximativen Wahrscheinlichkeit erscheinen mehr
als 264 Ticketinhaber zum Abflug?
Abgabe: Montag, 08.01.2007 bis 11 Uhr in den Übungsbriefkästen
Wir wünschen allen Hörern ein besinnliches Weihnachtsfest und einen
guten Rutsch ins neue Jahr 2007 !!!