Berechnung von Wahrscheinlichk.

Berechnung von Wahrscheinlichk.
a) Statistische (empirische) Methode - über
relative Häufigkeit“ (s. Statistik)
”
Exotische Anwendung“: Identifikation nich”
”
tidealer“ Roulette-Tische in Spielcasinos
b) Falls: Menge der Elementarereignisse endlich (|E| < ∞) und alle Elementarereignisse
gleichwahrscheinlich: P (ei ) = P (ej ), ∀i, j
(Laplacesches Zufallsexp.), dann Z = P(E)
Anzahl der für A günstigen EE
Anzahl aller EE
Für Berechnung von |E| ⇒ Anwendung der
Grundaufgaben der Kombinatorik“:
”
k aus n“ - s. z.B. web-page http://www.
”
matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Kombin
und P (A) =
Mit Wdhlg. mit Beachtung der Reihenf.: nk
n+k−1
Mit Wdhlg. ohne Beachtg. d. Reihenf.:
k
n!
ohne Wdhlg. mit Beachtg. d. Reihenf.: (n−k)!
ohne Wdhlg. ohne Beachtg. d. Reihenf.: n
k
Für Berechnung von |A|: Zusammensetzen“
”
Besonders: Glücksspiel (Würfel; Karten; etc.)
Beispiel
5er bei 6 aus
6:
(mindestens)
49“
”
6
43
49
|A| = 6
+
·
=
259,
|E|
=
=
6
5
1
6
13983816, P (A) = 0, 0000185.
Zu Bsp. 1: idealer Würfel“ P (ei ) = 1
6
”
6
Die Wkt.en aller 2 = 64 denkbaren Ereignisse ergeben sich sofort durch Auszählen“
”
( nicht sehr spannend“)
”
Für 2 unterscheidbare Würfel ( mit + mit“;
”
2
k = 2, n = 6 ⇒ |E| = 6 ) sind die EE
(e11 = {1, 1}, ..) gleichwahrscheinlich
1
(insgesamt 236 zuf. Ereign.)
36
Für 2 nicht unterscheidbare Würfel
ist dies
nicht erfüllt ( mit + ohne“; |E| = 7
2 = 21):
”
1
1
ẽ54 = {e54 , e45} ⇒ P (ẽ54 ) =
, P (ẽ11 ) =
18
36
c) Zufallssituationen mit abzählbar unendlich
vielen EE (Beispiel 3): Z = P(E) bleibt, aber
gleichwahrscheinlich nicht möglich. Dennoch:
P (eij ) =
E = {en}∞
n=1 , pn ∈ [0, 1], mit
∞
X
n=1
pn = 1 ⇒
P (en ) = pn, P (A) =
X
pk (∀A ⊆ E mögl.!)
k:ek ∈A
d)Bei Identifikation von E, A mit geometri”
schen Gebilden“ (Längen, Flächen, Volumic Punkte“ - überabzählbar):
na, ..; EE =
”
m(A0)
0=
c A, E 0 =
c E
P (A) =
,
A
0
m(E )
Elementarereign.( Punkte“) haben dabei (sinn”
vollerweise!) die Wkt. 0 (Inhaltsmaß: m(e0 ) =
0) (auch für Mengen mit endlich oder abzählbar unendlich vielen Punkten).
Nur umfassendere“ Ereignisse haben eine
”
echt positive Wkt. > 0.
1−(2/3)2
5
Beispiel 4: P (A) =
=
1
9
Problem (z.B.) bei geometr. Wkt. - wenn insbesondere das Axiom III gelten soll: Nicht alle
Teilmengen sind messbar, nicht alle Teilmengen von E besitzen Wkt. P (A) ⇔ nicht alle
Teilmengen A von E sind zufällige Ereignisse, bzw.: nicht alle TM gehören zu Z)! Aber:
Alle wichtigen ( vernünftigen“) Mengen blei”
ben meßbar (können als zuf. Ereignis interpretiert werden).
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Def. 13.7: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter der Bedingung, dass ein Ereignis A mit P (A) > 0 bereits eingetreten ist,
heißt bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung A und wird
mit P (B|A) bezeichnet.
Wichtig (sinnvoll): Bedingte Wkt.en werden
nur für P (A) > 0 betrachtet.
Beispiel 7: 3 Urnen mit Kugeln (rot/weiß)
U 1 : 3 weiß, 2 rot, U 2 : 2 w, 8 r, U 3 : 8 r,
B: gezogene Kugel weiß, Ai: Kugel aus Urne i
3
1
, P (B|A2 ) = , P (B|A3 ) = 0
5
5
Multiplikationstheorem der WR: Es gilt
P (B|A1 ) =
P (A ∩ B) = P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A),
für alle Ereignisse mit P (A) > 0, P (B) > 0.
(A∩B)
P (A∩B)
Oder: P (A|B) = P P
,
P
(B|A)
=
(B)
P (A)
Äquivalent zu Def.13.7 (auch Definition“)
”
Rechenregeln für bedingte Wkt.:
P (A|C) = 1 − P (Ā|C), P (C|C) = 1
P (A ∪ B|C) = P (A|C) + P (B|C) − P (A ∩ B|C)
Unabhängigkeit von Ereignissen
Def. 13.8: Ein zufälliges Ereignis A heißt
vom zufälligen Ereignis B unabhängig, wenn
die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von
A unabhängig davon ist, ob B eingetreten ist
oder nicht, d.h. P (A|B) = P (A).
Folgerungen: a) aus Multiplikationstheorem
P (A∩B)=P (A)P (B)=P (B|A)P (A) ⇒ P (B|A)=P (B)
Ist A von B unabhängig, so auch B von A.
b) Sind A, B unabhängig, so auch die Paare
(A, B̄), (Ā, B), (Ā, B̄)
Unabhängigkeit in Mengensystemen (> 2)
Def. 13.9: Die n zufälligen Ereignisse A1, A2, . . . , An
heißen insgesamt unabhängig, wenn für jedes m-Tupel (i1, i2, . . . , im ) von natürlichen
Zahlen mit 1 ≤ i1 < i2 < . . . < im ≤ n gilt:
P (Ai1 ∩Ai2 ∩. . .∩Aim ) = P (Ai1 )P (Ai2 ) . . . P (Aim ) .
Sie heißen paarweise unabhängig, wenn für
jedes Indexpaar (i, j) mit 1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j
die Ereignisse Ai und Aj unabhängig sind, also wenn gilt
P (Ai ∩ Aj ) = P (Ai )P (Aj ).
Konsequenz: P (
n
\
k=1
Ak ) =
n
Y
P (Ak ).
k=1
Insgesamt unabhängige Ereignisse sind auch
paarweise unabhängig (nicht umgekehrt).
Achtung(!!): Begriffe Unabhängigkeit und
Unvereinbarkeit (von Ereignissen) immer klar
unterscheiden (und Konsequenz für Wkt.-berechng.
beachten!): A, B unvereinbar ⇒
P (A∩B) = 0, P (A∪B) = P (A)+P (B) Aber(!):
A, B unabhängig ⇒ P (A ∩ B) = P (A)P (B),
und P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A)P (B)
Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
Sei (A1, A2, . . . , An) ein vollständiges System
paarweise unvereinbarer Ereignisse (s. Def.13.6).
Dann gilt für ein beliebiges zuf. Ereignis B
B=
n
[
(B ∩ Ak ) ⇒ P (B) =
k=1
⇒ P (B) =
n
X
P (B ∩ Ak )
k=1
n
X
P (B|Ak )P (Ak ) mit Multipl.-theor.
k=1
Das ist die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
Beispiel 7 (Fortsetzg.) B - gezog. Kugel weiß
3 1
1 1
1
4
11
P (B) = · + · + 0 · =
, P (B̄) =
5 3
5 3
3
15
15
ZUSATZ
Anwendung Unabhängigk.: Zuverlässigkeitstheorie ( Schaltalgebren; logische Verknüpfung“
”
von Ereign.) P (Ai) = pi, i = 1, 2
Reihensch.: A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ . . . An
Parallelsch.: A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ . . . An
Grundformeln“:
”
P (A1 ∩A2) = p1p2 , P (A1 ∪A2) = p1 +p2 −p1 p2
Beliebig kombinierbar“ (Komplex-Schaltg.)
”
Beweis Formel für bedingte Wkt P (A ∪ B|C)
P (A ∪ B|C) =
P (A ∩ C) ∪ (B ∩ C
P (C)
=
P (A ∩ C) + P (B ∩ C) − P (A ∩ B ∩ C)
=
⇒
P (C)
P (A ∪ B|C) = P (A|C) + P (B|C) − P (A ∩ B|C)