Übungen zur Speziellen und Allgemeinen Relativitätstheorie

Übungen zur Speziellen und Allgemeinen Relativitätstheorie
Blatt 12
Besprechung: 07.07.2010
SS 10
Prof. Dr. T. Mannel, S. Faller, S. Gadatsch
1. Geodesics
In this problem we consider a family of geodesics in some curved space. That means that we have
a set of points in spacetime x .s; /, which depends smoothly on both and s. In addition, for any
s, x .s; /, viewed as a function of only is a geodesic with affine parameter . Thus, s is a label
that distinguishes the various geodesics. The connection coefficients transform according to
˛ˇ
7 !
0
˛ˇ
N N
D ˛ ˇ
C @N ˛
:
@x 0ˇ
(12.1)
a) Show that an alternative form for the transformation formula (12.1) is
0
˛ˇ
N N
D ˛ ˇ
@
N ˛ N ˇ :
@x
(12.2)
(2 Punkte)
We define
@x .s; /
S D
;
@s
and the relative velocity and acceleration by
V D
@S @x DS C
D
@
@
S
and
A D
@V @x DV C
D
@
@
V
respectively. These are indeed a measure of the relative velocity and acceleration of nearby geodesics
given by two different but almost identical values of s.
b) Show that V and A are tensors. During your calculations make use of the equation (12.2).
(4 Punkte)
2. Geodätische Präzession
In der Äquatorialebene, D 2 , der durch
ds 2 D A.r/ dt 2
B.r/ dr 2
r 2 d 2
r 2 sin2 d 2
1
mit A.r/ D .1 rr /c2 , B.r/ D A.r/ 1 , x 0 D ct, x 1 D r, x 2 D , x 3 D , beschriebenen Schwarzschild-Metrik bewege sich ein Probekörper entlang einer zeitartigen Geodäten mit der
Vierer-Geschwindigkeit u. /. Es gilt dann
du
C
d
u u
D0:
(12.3)
Der Körper besitze einen (klassischen) Eigendrehimpuls beschrieben durch den Vierer-Vektor s. /
entlang dieser Geodäten. Hat der Eigendrehimpuls keine zeitartigen Komponenten in seinem momentanen Ruhesystem, dann gilt in allen Punkten entlang der Geodäten die Bedingung
s u D g s u D 0 :
(12.4)
Die Komponenten des Eigendrehimpulses erfüllen wiederum die Bedingung
ds C
d
s u
D0:
(12.5)
Der Körper befindet sich auf einer Kreisbahn mit Radius r und seine Geschwindigkeit sei durch u D
p
u0 .1; 0; 0; ˝/, mit den Konstanten u0 D dt=d D .1 32 rr / 1=2 und ˝ D d=dt D c2 r =.2r 3 /,
gegeben. Die Auswertung der Gleichung (12.5) in der Äquatorialebene ergibt
ds 0
C
d
0
10
und
ds 3
C
d
s 1 u0 D 0
3
13
1
;
ds 1
C
d
1
00
s 0 u0 C
1
33
s 3 u3 D 0
;
ds 2
D0
d
(12.6)
3
s u D0:
Mit u1 D u2 D 0 und der Orthgonalitätsrelation (12.4) erhält man
r 0 3
2
c 1
s u
r 2 s 3 u3 D 0 ;
r
mit u3 =u0 D ˝ folgt schließlich s 0 D Œ˝r 2 =.c2 .1 rr //s 3 . Die Gleichungen (12.6) können somit
reduziert werden auf
2
d 2s1
˝
ds 3
˝
ds 2
1
C
D
0
und
C s1 D 0 :
(12.7)
s
D
0
;
2
0
dt
u
dt
dt
r
a) Lösen Sie das Gleichungssystem (12.7), wenn als räumliche Anfangsbedingung der Eigendrehimpulsvektor Es in radiale Richtung zeigt, d.h. s 2 .0/ D s 3 .0/ D 0. Vereinfachen Sie
Ihr Ergebnis, indem Sie ˝ 0 D ˝=u0 setzen. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis!
(4 Punkte)
2
Ein Kreisel mit räumlichen Eigendrehimplus Es bewege sich auf einer kreisförmigen Bahn mit Radius r in der Äquatorialebene der SchwarzschildMetrik. Der Eigendrehimpulsvektor sE liege ebenfalls in dieser Ebene.
b) Zeigen Sie, dass nach einem kompletten Umlauf der Eigendrehimpulsvektor eine Phasendifferenz von
r
3r ˛ D 2 1
1
2r
zwischen Anfangs- und Endrichtung aufweist, wenn der
Anfangszustand durch sE.0/ D .s 1 .0/; 0; 0/ gegeben ist.
(4 Punkte)
3. Lense-Thirring-Effekt
Das Gravitationsfeld einer mit Drehimpuls J D aM c rotierenden Masse M kann beschrieben
werden durch die Kerr–Metrik
ds 2 D
a2 sin2 / 2 2 2r ac
c dt C
r sin2 d dt
2
2
.
2 2
dr
2 d 2
˙ sin2 d 2 ; (12.8)
2
. Für
mit D r 2 r r C a2 , 2 D r 2 C a2 cos2 , ˙ D .r 2 C a2 /2 a2 sin2 und r D 2 GM
c2
2
eine langsam rotierende Masse, a 1, vereinfacht sich das Linienelement (12.8) zu
2
ds 2 D dsSchwarzschild
C
4GJ
sin2 d dt :
c2 r
Ist das Gravitationsfeld der langsam rotierenden Masse darüber hinaus schwach, d.h. r =r 1,
so vereinfacht sich das Linienelement weiter, ds 2 D c2 .1 rr /dt 2 .1 C rr /.dr 2 C r 2 d 2 C
sin2 d dt, bzw. in kartesischen Koordinaten
r 2 sin2 d 2 / C 4GJ
c2 r
2
2
ds D c
1
r
r
dt
2
r
4GJ
1C
.dx 2 C dy 2 C dz 2 / C 2 3 .xdy
r
c r
ydx/dt :
(12.9)
Betrachten Sie einen Kreisel mit Vierer-Eigendrehimpuls s. /, welcher frei mit der ViererGescwindigkeit u. / entlang der Rotationsachse einer langsam rotierenden Masse M fällt.
3
Die Komponenten des Eigendrehimpulses erfüllen die Bedingung
ds C
d
s u D 0
und
suD0:
Der Kreisel startet mit der Geschwindigkeit u D .ut ; 0; 0; uz /
und dem Eigendrehimpuls s D .0; s x ; s y ; 0/.
a) Bestimmen Sie alle nicht-verschwindenen Christoffely
Symbole der Form x und der Metrik (12.9). Beachten Sie, dass sich das Teilchen entlang der z-Achse bewegt, achten Sie auf die Symmetrie des Linienelements
und die Näherung r =r 1!
2GJ
r
x
x
Teilergebnis: yt D 2 3 ;
xz D
c z
2c2 z.z C r /
(4 Punkte)
b) Der Kreisel fällt mit einer nicht-relativistischen Geschwindigkeit. In erster Ordnung in
ut 1 und uz D 0 setzen. Lösen Sie damit
ds C
d
˛ ˇ
s u
˛ˇ
1
c
kann man
D0:
(2 Punkte)
4