Übung 3
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Festkörperphysik I Prof. Klaus Ensslin HS 2016 Verteilung: 5. Oktober 2016 Besprechung: 12./13. Oktober 2016 3. Übungsblatt: Streuung an einem Festkörper (Teil 2) Aufgabe 1: Interferenzpunkte mit dem Laue-Verfahren Das Laue-Verfahren wird oft dazu benutzt, einen Einkristall mit bekannter Kristallstruktur im Raum zu orientieren. Dabei wird ein Röntgenstrahl mit kontinuierlichem Spektrum auf den Kristall gerichtet und die Lage der Interferenzpunkte bestimmt (d.h. die Beugungswinkel, für die man konstruktive Interferenz bei einer bestimmten Wellenlänge beobachtet). a) Schätzen Sie die maximale Anzahl von Interferenzpunkten ab, wenn die Spannung an der Röntgenröhre 60 kV beträgt und der Kristall ein einfach kubisches Gitter mit einer Gitterkonstanten von 2.5 Å ist. b) Nehmen Sie nun an, es handle sich um einen NaCl-Kristall. Begründen Sie mit Hilfe des Strukturfaktors, dass nur Reflexe bestimmter Gitterebenen im Interferenzmuster zu sehen sind. Welche Bedingungen erfüllen diese? Aufgabe 2: Bestimmung einer Kristallstruktur mit dem Debye-Scherrer-Verfahren Beim Debye-Scherrer-Verfahren wird eine Probe eines pulverisierten Kristalls mit monochromatischer Röntgenstrahlung bestrahlt. Die Kristallrichtungen im Pulver sind statistisch verteilt. Um die Probe ist ein Film konzentrisch angebracht (siehe Skizze). b Probe k0 mm 2Q .3 57 a k Bei Untersuchung eines Elementes findet man auf dem Filmstreifen Linien bei 39 mm, 56.5 mm, 70 mm, 83 mm, 95.5 mm, 108.5 mm, 122 mm, 138.5 mm und 165 mm (von a aus gemessen). Dabei wurde Röntgenstrahlung mit einer Wellenlänge λ = 0.15401 nm verwendet (die sogenannte Cu Kα -Linie). a) Ordnen Sie die Reflexe den Kristallebenen (hkl) zu. b) Bestimmen Sie die Kristallstruktur. c) Berechnen Sie die Gitterkonstante. Um welches Element handelt es sich vermutlich? Tipp zu den Aufgabenteilen a) und b): Nehmen Sie an, dass der Kristall eine kubische Struktur mit Gitterkonstanten d hat (entspricht der Länge der kubischen Einheitszelle). Beachten Sie dabei, dass es drei Typen von kubischen Kristallen gibt (einfach, flächenzentriert und raumzentriert). Ausgehend von einer kubischen Einheitszelle unterscheiden sie sich nur durch unterschiedliche Basen (einatomig, vieratomig und zweiatomig). Die Bragg-Bedingung kann man umformen zu sin2 θ = λ2 2 (h + k 2 + l2 ), 4d2 (1) wobei h, k, l die Miller-Indizes sind. Berechnen Sie θi und sin2 θi für i = 1 . . . 9. Suchen Sie Zahlentripel (hi , ki , li ) und ein Tripel (h1 , k1 , l1 ), so dass nach Gleichung (1) für alle i gilt: sin2 θi (h2i + ki2 + li2 ) = (h21 + k12 + l12 ) sin2 θ1 (2) Starten Sie mit (h, k, l) = (1, 0, 0). Beziehen Sie danach die Basis mit ein, d.h. berücksichtigen Sie den Strukturfaktor: S(hkl) = X exp(iGhkl · ri ) · γAtom , (3) Atome der EZ wobei G ein reziproker Gittervektor und ri die Lage des i-ten Basisatoms in der Einheitszelle ist. Unterscheiden Sie dabei sc, fcc und bcc.
