¨Ubungen zur Vorlesung ”Molekül- und Festkörperphysik” (WS 2015

Übungen zur Vorlesung ”Molekül- und Festkörperphysik” (WS 2015/16)
Prof. Dr. Peter Michler und Dr. Simone L. Portalupi
Übungblatt 08
Ausgabe am 08.12.2015
Besprechung am 15./17.12.2015
8.1 Kristallgitter I: Die Diamantstruktur (8 Punkte)
Das Bravais-Gitter von Diamant ist kubisch-flächenzentriert (fcc: face-centered cubic). Die
Basis besteht aus zwei Kohlenstoffatomen an den Atompositionen {0, 0, 0} und { 41 , 14 , 14 }.
(a) Skizzieren Sie die konventionelle Zelle (Einheitszelle) der Diamantstruktur mit ihrer
tetraedischen Bindungsgeometrie der beteiligten Atome aus zwei fcc-Gittern der
Gitterkonstanten |~ai | = a (i = 1, 2, 3). (2 Punkte)
(b) Geben Sie einen Satz primitiver Translationsvektoren an. (2 Punkte)
(c) Wieviele Atome befinden sich in der konventionellen kubischen Einheitszelle?
(2 Punkte)
(d) Wie groß ist die Koordinationszahl? (2 Punkte)
8.2 Kristallgitter II: Der Tetraederwinkel (5 Punkte)
Die Diamant-Struktur ist eine besonders stabile Kristallsymmetrie, bei der jedes beteiligte
Atom tetraedische Bindungen mit vier weiteren identischen Atomen (speziell bei Diamant:
Kohlenstoff-Atome) ausbildet. Man kann sich die Struktur des Diamantgitters aufgebaut
denken aus zwei kubisch-flächenzentrierten (fcc) Untergittern, die um genau ein Viertel
der Raumdiagonalen des fcc-Würfels gegeneinander verschoben sind.
Bemerkung: Eine häufig vorkommende wichtige Abart der Diamant-Struktur ist die Zinkblende-Struktur, bei der die beiden fcc-Untergitter dieselbe Orientierung wie bei Diamant
zueinander aufweisen, jedoch mit zwei unterschiedlichen Typen von Atomen besetzt sind.
Bestimmen Sie den Tetraederwinkel Θ, der als der von jeweils zwei Teraederarmen
eingeschlossene Winkel definiert ist! Hinweis: Zerlegen Sie zunächst die nichtprimitive Einheitszelle der Diamantstruktur in Oktanten. Betrachten Sie nun einen
Oktanten, der einen Tetraeder enthält, und nutzen Sie die Tatsache, daß die Winkel
zwischen den tetraedischen Bindungen der Diamantstruktur dieselben sind wie die
Winkel zwischen den Raumdiagonalen aneinandergrenzender Würfel. Verwenden Sie
elementare Vektorrechnung zur Bestimmung von Θ.
8.3 Kristallgitter III: Die hcp-Struktur (5 Punkte)
Zeigen Sie, daß das Verhältnis ac für eine hexagonal dichtgepackte Kristallstruktur (hcp:
p
hexagonal close-packed ) gleich 8/3 ≈ 1.633 ist! Der Parameter c bezeichnet hierbei die
Höhe der hexagonalen Einheitszelle bzw. a den Abstand zweier Atome innerhalb der Zelle.
Die Stapelfolge der Atomlagen der hcp-Struktur ist ABAB . . . . Ferigen Sie hierzu eine
Skizze an!
8.4 Kristallgitter IV: Packungsdichten in kubischen Kristallgittern (8 Punkte)
In einem einfach kubischen Bravaisgitter sind lediglich die Ecken der Elementarzelle mit
Atomen besetzt. Die Berührungspunkte der Atome liegen somit entlang der Würfelkanten
(Gitterkonstante der Länge a = 2r) mit r als Radius der Atome bzw. Ionen.
(a) Berechnen Sie den Volumenanteil p, den die Atome in der Elementarzelle der einfachkubischen Kristallstruktur einnehmen! (2 Punkte)
(b) Wie ändert sich der Volumenanteil p beim Übergang von einem einfach kubischen
zu einem kubischen bcc-Gitter? Welche der beiden Kristallstrukturen ((a) oder (b))
nutzt folglich den Raum besser aus? (2 Punkte)
(c) Die gemessenen Werte für die Dichte und die Gitterkonstante von F e (Eisen) betragen ρF e = 7.86 g/cm−3 und aF e = 2.87 · 10−10 m. Können Sie aus diesen Meßwerten darauf schließen, ob die Kristallstruktur einfach kubisch oder kubisch raumzentriert ist? (Bemerkung: Die Masse eines Eisenatoms beträgt mF e = 9.28 · 10−26 kg.)
(4 Punkte)