Klausur zur Vorlesung ” Grundlagen der Mathematik II“

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Dr. E. Schörner
SS 2015
Klausur
07.08.2015
Klausur zur Vorlesung
Grundlagen der Mathematik II“
”
1. a) Für eine Relation R ⊆ M × M auf einer nichtleeren Menge M definiere
man die Begriffe Reflexivität“, Antisymmetrie“ und Transitivität“. Unter
”
”
”
welcher zusätzlichen Bedingung ist R eine totale Ordnung auf M ?
(2)
b) Man zeige, daß die Relation
R = (x, y) ∈ R × R | y − x ∈ Q+
0
eine Ordnung auf der Menge R der reellen Zahlen ist.
(2)
c) Es sei R die in b) betrachtete Ordnung auf R. Für q ∈ Q zeige man
{y ∈ R | (q, y) ∈ R} = [q, +∞[Q
und entscheide mit Begründung, ob R eine totale Ordnung auf R ist.
(2)
2. a) Eine Vorlesung ist von 53 der Studierenden regelmäßig besucht worden; die
Abschlußklausur wird von 85 aller Studierenden bestanden, wobei die Bestehensquote unter den regelmäßigen Vorlesungsbesuchenden sogar 78 beträgt.
Man bestimme die Wahrscheinlichkeit, daß jemand,
• der die Klausur nicht besteht, die Vorlesung regelmäßig besucht hat, (1)
• der die Vorlesung nicht regelmäßig besucht hat, die Klausur besteht, (1)
• der die Klausur besteht, die Vorlesung nicht regelmäßig besucht hat. (1)
b) In einer Urne befinden sich zwölf Kugeln, wovon fünf Kugeln rot, vier Kugeln
gelb und drei Kugeln blau sind. Man gebe für die drei Ereignisse
• A = Beim Ziehen von sechs Kugeln ohne Zurücklegen werden von jeder
”
Farbe genau zwei Kugeln gezogen.“
(1)
• B = Beim Ziehen von sechs Kugeln mit Zurücklegen werden von jeder
”
Farbe genau zwei Kugeln gezogen.“
(1)
• C = Beim Ziehen von sechs Kugeln ohne Zurücklegen wird beim vierten
”
Zug zum ersten Mal eine rote Kugel gezogen.“
(1)
jeweils die Wahrscheinlichkeit (mit Binomialkoeffizienten und Potenzen) an.
3. a) Für zwei Punktmengen M und M0 der Anschauungsebene definiere man
den Begriff M ist ähnlich zu M0“ und formuliere zwei Kriterien für die
”
Ähnlichkeit zweier Dreiecke ∆ABC und ∆A0 B 0 C 0 .
(1 21 )
b) Im rechtwinkligen Dreieck ∆ABC bezeichne H den Höhenfußpunkt von C
auf der Hypotenuse [AB]. Man zeige, daß die Dreiecke ∆BCH und ∆CAH
ähnlich sind, und folgere daraus den Höhensatz.
(1 21 )
c) Im rechtwinkligen Dreieck ∆ABC stehen die beiden Hypotenusenabschnitte
im Verhältnis p : q = 9 : 16; ferner besitzen sein Flächeninhalt F und sein
Umfang u dieselbe Maßzahl s, es ist also F = s FE und u = s LE. Man
bestimme die Länge der Hypotenuse sowie der beiden Katheten.
(3)
4. a) Man zeige, daß es genau zwei komplexe Zahlen z ∈ C mit
√
z+z =4 3
und
z · z = 16
gibt, und gebe sowohl ihre Real– und Imaginärteildarstellung als auch ihre Polardarstellung an. Man folgere, daß diese beiden komplexen Zahlen
zusammen mit 0 ein gleichseitiges Dreieck in der Gaußschen Zahlenebene
bilden.
(3)
b) Über dem Körper C der komplexen Zahlen gebe man alle Lösungen der
Gleichung
√
z 3 + 4 2 · (1 − i) = 0
in der Real– und Imaginärteildarstellung an.
(3)