Wahrscheinlichkeitstheorie I

G. Trutnau
WS 2005/06
Wahrscheinlichkeitstheorie I
Aufgabe 46. Zeige:
(i) Ist X eine exponentialverteilte Zufallsvariable, so gilt
(1)
P [X > s + t|X > t] = P [X > s]
für alle s, t ≥ 0, d.h. X hat kein “Gedächtnis”.
(ii) Ist umgekehrt X eine Zufallsvariable mit P [X ∈ (0, ∞)] = 1 für die (1) gilt, so ist
X exponentialverteilt.
(Hinweis zu (ii): Es sei ϕ(t) := P [X > t]. Dann ist ϕ monoton fallend, rechtsstetig und
erfüllt die Funktionalgleichung ϕ(s + t) = ϕ(s) · ϕ(t) für alle s, t ≥ 0.)
Aufgabe 47. Wir betrachten Polyas Urnenmodell: Eine Urne enthalte s schwarze und w
weiße Kugeln. In jeder Periode werde eine Kugel zufällig gezogen und durch t Kugeln der
gezogenen Farbe ersetzt. Wir setzen Xn = 1, wenn im n–ten Schritt eine schwarze Kugel
gezogen wird und Xn = 0 sonst. Sei P die resultierende Wahrscheinlichkeitsverteilung
auf Ω = {0, 1}N . Zeige, dass
P [Xn+1
Pn
s + (t − 1) i=1 xi
= 1|X1 = x1 , . . . , Xn = xn ] =
.
s + w + (t − 1)n
Wir wollen in den folgenden beiden Aufgaben das Langzeitverhalten des Urnenmodells
aus Aufgabe 47 studieren.
Aufgabe 48. Es sei Pp die zum Münzwurfmodell mit Erfolgsparameter p ∈ [0, 1]
gehörende Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Raum Ω aller binären Folgen ω =
(x1 , x2 , . . . ) und Xn (ω) = xn . Weiterhin sei µ die Betaverteilung zu den Parametern
s
w
α := t−1
und β := t−1
. µ ist also eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf [0, 1] mit
Dichte
Γ(α+β) α−1
(1
Γ(α)Γ(β) x
− x)β−1 . Zeige für die durch
Q [A] :=
Z
1
Pp [A] µ(dp)
0
definierte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Ω, dass
Q[Xn+1
Pn
s + (t − 1) i=1 xi
.
= 1|X1 = x1 , . . . , Xn = xn ] =
s + w + (t − 1)n
Folgere, dass Q mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß P aus Aufgabe 47 übereinstimmt.
—2—
Aufgabe 49. Wir betrachten wieder das Urnenmodell aus Aufgabe 47. Zeige, dass
der Anteil der schwarzen Kugeln schwach gegen die Betaverteilung µ aus Aufgabe 48
konvergiert.
(Hinweis: Aus Aufgabe 47 wissen wir, dass
P [A] =
Z
1
Pp [A] µ(dp) .
0
Nun beachte, dass nach dem Gesetz der großen Zahlen limn→∞
1
n
Pn
k=1
Xk = p Pp -f.s.)