1¨Ubungen zu ”Mengen” - Mathematik, TU Dortmund

Aufgaben zum Vorkurs B
S. 1
1 Übungen zu ”Mengen”
Aufgabe 1:
Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an:
A = {x ∈ N| 0 < x < 4, 8}
B = {t ∈ N| t ist Teiler von 24}
C = {z ∈ Z| z ist positiv, durch 3 teilbar und kleiner als 21}
D = {x ∈ R| x 2 − 1 = 0}
E = {x ∈ R| (x − 1)2 = 0}
F = {x ∈ R| x + 8 = 9}
Aufgabe 2:
Geben Sie alle Teilmengen von S = {1, 2, 3, 4} an. Wieviele sind das? Haben Sie eine Idee für T =
{1, 2, 3, 4, 5}? Und ganz allgemein für eine n-elementige Menge?
Aufgabe 3:
Gegeben sind die vier Mengen
A = {1, 2} , B = {{1}, {2}} , C = {{1}, {1, 2}} , D = {{1}, {2}, {1, 2}}
Diskutieren Sie die Gültigkeit folgender Beziehungen:
(i) A = B , (ii) A ⊆ B , (iii) A ⊂ C , (iv) A ∈ C ,
(v) B ⊂ C ,
(vi) B ⊂ D ,
(vii) B ∈ D ,
(e) A ⊂ D
(viii) A ∈ D
Aufgabe 4:
Prüfen Sie, ob folgende Mengenformeln gültig sind (Benutzen Sie Mengendiagramme zur Veranschaulichung)
(i)
(A ∪ B) \ C
=
(A \ C) ∪ B
(ii)
(A ∪ B) ∩ C
⊆
A ∩ (B ∪ C)
(iii)
(A ∩ B) ∪ C
=
A ∩ (B ∪ C)
Aufgabe 5:
Beweisen Sie folgende Mengenformeln:
(i) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(ii)
(A ∩ B)c
=
Ac ∪ B c
Aufgabe 6:
Beweisen Sie, daß die eine der folgenden Mengenformeln immer richtig, die andere manchmal falsch
ist:
(i) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ C
(ii)
A \ (B ∪ C)
=
(A \ B) \ C
Aufgaben zum Vorkurs B
S. 2
2 Übungen zu ”Zahlen”
Aufgabe 1:
Beweisen Sie für n ≥ 2 mit vollständiger Induktion
n
X
k2k−1 = (n − 1)2n
k=2
Aufgabe 2:
Berechnen Sie mit Hilfe des binomischen Satzes 9993 = (1000 − 1)3 und 10014 .
Aufgabe 3:
(i) Schreiben Sie den Bruch als Dezimalzahl (mit Angabe der Periode)
3
8
(a)
,
(b)
3
7
,
(c)
311
5
(ii) Schreiben Sie die Dezimalzahl als Bruch ganzer Zahlen in gekürzter Form:
(a)) 0, 8,
(b) 0, 153̄
Aufgabe 4:
Benutzen Sie die Potenzrechenregeln, um den Ausdruck zu vereinfachen:
(i)
26 · 5m − 5m
5m+2
an + 2an−1
(iii) n−2
a
+ 2an−3
,
(ii)
,
(iv)
(15x 2 y −3 )−4
(25x 3 y −6 )−2
a2 b
cd 3
3 2 4
ab
:
c 2d 2
Aufgabe 5:
Mit endlichen Summen rechnen:
(i)
n
P
(3k + 2)
k=1
(ii)
5
P
3,
k=−5
(iii)
n
P
2k −
k=1
(iv)
n
P
n−2
P
2k+1
k=−1
(−1)k x 2k
k=0
Aufgabe 6:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung (durch quadratische Ergänzung):
(i) x 2 + 6x + 5 = 0, (ii) x 2 + 6x + 9 = 0, (iii) x 2 + 6x + 13 = 0
(iv) x(x − 2) = 3, (v) x 2 − 5x + 6 = 0, (vi) x 2 − 3x + 3 = x − 1
Aufgabe 7:
Zerlegen Sie den quadratischen Ausdruck in ein Produkt von Linearfaktoren:
(i ) x 2 − 8x + 15 , (i i ) 4t 2 − 4t + 1 , (ii i ) 18u 2 − 9u + 1
Aufgaben zum Vorkurs B
S. 3
3 Übungen zu ”Ordnung und Betrag”
Aufgabe 1:
Formen Sie in betragsfreie Ausdrücke um:
(i) |x 2 − 2xy + y 2 |
(ii) a − |a − |a||
(iii)
a + b + |a − b|
2
Aufgabe 2:
Deuten Sie die auftretenden Beträge geometrisch als Abstände von Punkten auf der Zahlengeraden,
und bestimmen Sie so die Lösung der Gleichung bzw. Ungleichung:
(i) |x − 3| = 8 ;
|x + 3| = 8 ;
(ii) |x + 1| = |x − 1| ;
|x| ≤ 5 ;
|x − 3| < 8 ; |x + 3| > 8 ;
|x − 1| + |x − 2| > 1 ; |x − 1| + |x − 2| = 1 ;
x2 > 9
(⇔ |x| > 3)
|x − 1| + |x + 1| < 2
(iii) Formen Sie zuerst so um, daß der Koeffizient bei x gleich 1 ist und Sie einen Ausdruck der Form
|x − a| erhalten: |3 − 5x| = 2 ; |4 − 2x| < 3 ; 5 − 2|x − 3| ≤ 6.
Aufgabe 3:
Beispiele für Gleichungen, bei deren Lösung naheliegende Umformungen nicht immer äquivalente
Umformungen sind:
x 2 − 2x
=0
x2 + x − 6
√
(ii) x − 1 = 2x + 1
(i)
Diskutieren Sie die möglichen Vorgehensweisen, wenn bei einer wünschenswerten Umformung
keine Äquivalenz, sondern nur die Implikation ⇒“ in der Schreibrichtung gilt; z.B.: Welche Be”
ziehung besteht dann zwischen der Zahlenmenge, die man schließlich erhält, und der Lösungsmenge der Gleichung? Was bedeutet es im Grunde, wenn man von einer erforderlichen Probe“
”
spricht?
(iii) Daß die vorhergehende Bestimmung des Definitionsbereiches nützlich sein kann, zeigt die Untersuchung der Gleichung
1
1
√
−√
=0
1−x
x −1
.
Aufgabe 4:
Lösen Sie folgende Ungleichungen, indem Sie Äquivalenzen wie a · b = 0 ⇔ a = 0 oder b = 0 “,
”
oder a · b > 0 ⇔ . . . “, oder a · b < 0 ⇔ . . . “ usw. ausnutzen:
”
”
(i) (x − 1)(x − 3) > 0
(ii)
x −1
>0
x −3
(iii) x 3 + 5x 2 ≥ 0
(iv) x 2 − 4x < 0
Aufgaben zum Vorkurs B
(v)
S. 4
2x
≥0
3x + 4
Aufgabe 5:
Lösen Sie folgende Ungleichungen durch Fallunterscheidung oder durch Umformung in Ungleichungen,
die wie in (ii) behandelt werden können:
(i)
2x − 5
>1
x −4
(ii)
3
2
<
x −5
x +3
(iii)
x +3
x
≥
x
x +3
4 Übungen zu ”Funktionen”
Aufgabe 1:
Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion f , deren Zuordnungsvorschrift f (x) gegeben ist
durch:
p
√
√
√
√
i) 1 − x 2
ii)
1 − 1 − x2
iii) 1 − x + x − 2
p
1
|x|
iv)
3|1 − x| v)
+
|x − 1| x + 2
Aufgabe 2:
Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f , wenn f (x) gegeben ist durch:
(i) a) |x|
(ii) a)
1
x
b) |x − 1|
b)
1
|x|
c)
c) |x + 1|
1
x +1
d)
d) |x| + 1
1
+1
x
(iii) ||x| − 1|
(iv)
|x 2 − 9|
x −3
Aufgabe 3:
Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Achsen, wenn f (x) gegeben ist durch:
x2 − 1
1
i) 2
ii)
iii) x 2 (2x + 1)
x +1
1 + x2
Aufgabe 4:
(i) Sei die Funktion f : R \ {2} → R gegeben durch: f (x) =
1+x
2−x
1
Bilden Sie: f (3t) , f (x − 1) , f ( )
x
(ii) Bilden Sie die zusammengesetzten Funktionen f (g(x)) und g(f (x)):
√
x
a) f (x) = x 2 + 1 , g(x) =
x −1
2
b) f (x) = x , g(x) = 2x − 1
Geben Sie jeweils den Definitionsbereich der zusammengesetzten Funktion an.
Aufgaben zum Vorkurs B
S. 5
Aufgabe 5:
Welche der Funktionen f : D → R ist streng monoton und besitzt daher eine Umkehrfunktion?
(i) f (x) = x + x 2
mit
a) D = {x|0 ≤ x ≤ 3}
b) D = {x| − 1 ≤ x ≤ 3}
1
mit
x2
a) D = {x|x > 0}
(ii) f (x) =
b) D = R \ {0}
Aufgabe 6:
(i) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von
f : R \ {2} → R
,
f (x) =
1
2−x
(ii) Sei f : [− 52 , ∞[→ R definiert durch f (x) = 1 − (2x + 5)3
a) Geben Sie an, in welcher Weise f aus welchen Funktionen zusammengesetzt ist
b) Zeigen Sie, daß f streng monoton ist. Untersuchen Sie dazu die Funktionen, aus denen f
nach a) zusammengesetzt ist.
c) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von f .
5 Übungen zu ”Rationale Funktionen”
Aufgabe 1:
Faktorisieren Sie so weit wie möglich
(i) x 5 − 7x 4 + 19x 3 − 25x 2 + 16x − 4
(ii) x 3 + 5 ∗ x 2 + 8x + 4
(iii) x 4 + 2x 3 − 3x 2
(iv) x 4 + 2x 3 + x 2 − 8x − 20
(v) x 4 − 2x 3 − 13x 2 + 14x + 24
Aufgabe 2:
Führen Sie die Polynomdivision durch
(i)
x 4 − 16
x2 − 4
−2x 4 − 3x 3 − 3x 2 − 5x
(ii)
−2x 2 + x − 3
(iii)
x 4 + x 2 + 4x
x2 + 2
Aufgaben zum Vorkurs B
(iv)
S. 6
x 4 + 3x 2 + 1
x2 − 1
x3 − x2 + x − 1
(v)
x2 − 1
(vi)
x7 − 1
x −1
(vii)
xn − 1
x −1
Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von
(i)
2x − 2
x 2 − 2x
(ii)
x −6
x2 − 4
(iii)
x −1
(x − 2)2
(iv)
9x 2 + 34x + 29
x 3 + 6x 2 + 11x + 6
Aufgabe 4:
Bestimmen Sie eine Zerlegung von
A
Bx + C
5x 2 + 4 − 7x
mit
einem
Ansatz
+
.
(x − 2)(x 2 + 1)
x −2
x2 + 1
6 Übungen zu ”Trigonometrie”
Aufgabe 1:
Bogen und Gradmaß
(i) Geben Sie das Bogenmaß des Winkels α vom Gradmaß 135◦ an.
(ii) Geben Sie das Gradmaß des Winkels α vom Bogenmaß 5 an.
(iii) Geben Sie Grad- und Bogenmaß des Winkels α an, der aus einem Kreis mit Radius r = 3 einen
Bogen der Länge 5 herausschneidet.
Aufgabe 2:
cos x und sin x sind als die Koordinaten des Punktes Px auf dem Einheitskreis definiert (vgl. Skript);
daher: cos2 x + sin2 x = 1.
(i) Bestimmen Sie cos x und sin x für (1) x =
(ii) Bestimmen Sie cos
3
7
π, (2) x = π
4
4
π
π
und sin (gleichseitiges Dreieck)
3
3
Aufgaben zum Vorkurs B
S. 7
(iii) Begründen Sie (am Einheitskreis):
π
sin
− x = cos x
2
sin(π − x) = sin x
,
,
cos
π
2
− x = sin x
cos(π − x) = − cos x
Aufgabe 3:
Anwendung der Additionstheoreme für cos und sin:
(i) Berechnen Sie cos
π
π
und sin :
3
3
cos
π
6
,
sin
π
6
,
cos
2π
3
,
sin
2π
3
(ii) Zeigen Sie, daß für x, y ∈ R gilt:
sin x + sin y = 2 sin
(iii) Vereinfachen Sie:
x +y
x −y
cos
2
2
√
√
1 + cos x · 1 − cos x
Aufgabe 4:
Skizzieren Sie den Graphen der Funktion über einem geeigneten Intervall und diskutieren Sie die
Wirkung der Koeffizienten und der additiven Konstanten:
f1 (x) = sin x
,
f2 (x) = 2 sin x
,
f3 (x) = −2 sin x
1
f4 (x) = sin 2x , f5 (x) = sin x ,
2
π
π
f6 (x) = sin x +
, f7 (x) = sin x −
.
2
2
Aufgabe 5:
Beziehungen zwischen sin, cos, tan, cot. Vereinfachen Sie:
(i) cos x + sin x tan x
(ii)
1
1
+
.
1 + tan x
1 + cot x
Aufgabe 6:
Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen.
(i) Vereinfachen Sie den Ausdruck sin(arcsin x + arccos x), und zeigen Sie damit, daß für alle x ∈ R
mit |x| ≤ 1 gilt:
π
arcsin x + arccos x = .
2
(ii) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion der Funktion
r π
1
→ R mit f (x) = tan x 2 .
f : 0,
2
3