Stochastik I 12. ¨Ubungsserie

Prof. Dr. Uwe Küchler
Dr. Markus Riedle
Dipl. Math. Hagen Gilsing
Dipl. Math. Thomas Knispel
SS 2006
Stochastik I
12. Übungsserie
12.1 (3 Punkte) Es sei (Xn : n ≥ 1) eine Folge von Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A , P ). Man zeige: Gilt supn∈N1 D 2 Xn < ∞ und existiert
ein n0 ∈ 1 mit Kov(Xk , Xl ) = 0 für |k − l| ≥ n0 , so folgt
N
1X
P
(Xk − EXk ) −→ 0.
n k=1
n
12.2 (4 Punkte) Beim Roulette sind je 18 Zahlen rot bzw. schwarz markiert, und eine
Zahl, die Null, ist grün. Setzt ein Spieler auf Rot bzw. Schwarz, so bekommt er bei
Gewinn den doppelten Einsatz ausbezahlt, beim Setzen auf eine Zahl bei Gewinn
den 36-fachen Einsatz. Spieler A setzt stets auf Rot, Spieler B stets auf eine Zahl.
Bestimmen Sie für beide Spieler approximativ die Wahrscheinlichkeit, in 100 Spielen
mit einem Einsatz von je 10 Euro mindestens 40 Euro zu gewinnen.
12.3 (4 Punkte) Ihnen wird das folgende Glücksspiel angeboten: Sie setzen das Startkapital K0 = 100 Euro ein und erhalten in der n-ten Runde, n ∈ 1 , abhängig vom
Ausgang eines fairen Münzwurfexperiments, 2/3 des bisherigen Kapitals Kn−1 als
Gewinn, sofern ”Zahl” erscheint, anderenfalls verlieren Sie den Betrag 21 Kn−1 . Der
Anbieter des Spiels versucht Sie mit dem Argument
N
lim EKn = ∞
n↑∞
von der Vorteilhaftigkeit dieses Glücksspiels zu überzeugen. Enttäuschte Spieler behaupten jedoch, dass limn↑∞ Kn = 0 P -f. s. gilt. Sollten Sie sich auf dieses Spiel
einlassen ? Überprüfen Sie zunächst die obigen Behauptungen.
12.4 (4 Punkte) Ein Versicherungsunternehmen hat n gleichartige Kontrakte mit einjähriger Laufzeit abgeschlossen und muss für den i-ten Kontrakt die zufällige Versicherungsleistung Xi erbringen. Es wird angenommen, dass die Xi unabhängig sind
und denselben Erwartungswert m sowie dieselbe Varianz σ 2 ∈ (0, ∞) besitzen. Als
Prämie verlangt die Versicherung gemäß dem sogenannten Varianzprinzip jeweils
π = m + λσ 2 für ein λ > 0.
(a) Es bezeichne R die Kapitalreserve der Versicherung, und Sn sei die Summe
der Einzelleistungen Xi . Bestimmen Sie mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes
näherungsweise die Ruinwahrscheinlichkeit P (Sn > R + nπ).
(b) Wie groß ist nach (a) die Ruinwahrscheinlichkeit für R = 1440, σ = 40, λ =
0, 001 und n = 900 ? Vergleichen Sie die ermittelte Wahrscheinlichkeit mit der
Schranke aus der Tschebyschev’schen Ungleichung.
(c) Wie groß muss nach (a) die Anzahl der Kontrakte mindestens sein, damit für
R = 0, σ = 40 und λ = 0, 001 die näherungsweise Ruinwahrscheinlichkeit
kleiner als 0, 01 ausfällt ?
12.5 (4 Punkte) Es sei (Xn : n ≥ 1) eine Folge unabhängiger und zum Parameter 1
1
.
Cauchyverteilter Zufallsgrößen, d. h. Xi besitzt die Dichte f (x) = π1 1+x
2, x ∈
N
R
(a) Zeigen Sie, dass die Folge Yn := n1 max{X1 , . . . , Xn }, n ∈ 1 , in Verteilung
konvergiert und bestimmen Sie die Grenzverteilung.
P
(b) Was können Sie über die asymptotische Verteilung von n1 nk=1 Xk sagen ? Argumentieren Sie mithilfe der charakteristischen Funktion.