¨Ubungen zur Vorlesung Grundlagen der Stochastik Stetige

Löhr/Winter
Wintersemester 2013/14
Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Stochastik
Übungsblatt 10
Stetige Zufallsvektoren & Verzweigungsprozesse
Aufgabe 10.1.
Sei (X, Y ) ein Zufallsvektor mit (gemeinsamer) Dichte f : R2 → R+ .
(4 Punkte)
(a) Berechne die gemeinsame Dichte von (X, XY ).
(b) Sei fXY die Dichte von XY . Zeige, dass
Z
fXY (z) =
∞
−∞
f x, xz · |x|−1 dx.
(c) Sei nun X exponentialverteilt mit Parameter 1 und Y exponentialverteilt mit Parameter X
(d.h. die Dichte von (X, Y ) ist f (x, y) = g1 (x)gx (y), wobei gλ die Dichte der Exponentialverteilung mit Parameter λ ist). Berechne die Dichte fXY von XY .
Aufgabe 10.2.
(2 Punkte)
Seien X, Y Zufallsgrößen mit Dichten fX , fY : R → R+ . Zeige, dass X und Y genau dann unabhängig sind, wenn f (x, y) := fX (x)fY (y) eine gemeinsame Dichte von (X, Y ) ist.
Aufgabe 10.3.
(4 Punkte)
Seien X, Y Zufallsgrößen auf R+ mit gemeinsamer Dichte f : R2+ → R. Sei U := X ∧ Y das
Minimum und V := X ∨ Y das Maximum der beiden Zufallsgrößen.
(a) Zeige, dass (U, V ) folgende gemeinsame Dichte (auf R+ ) hat:
f(U,V ) (u, v) = 1[0,v] (u) f (u, v) + f (v, u) .
Seien nun X und Y unabhängig, X exponentialverteilt zum Parameter λ, und Y exponentialverteilt
zum Parameter µ.
(b) Berechne die gemeinsame Dichte von U und V .
(c) Sei W := V − U . Berechne die gemeinsame Dichte von U und W .
(d) Zeige, dass U und W unabhängig sind, U exponentialverteilt ist zum Parameter λ + µ, und
λµ
e−µw + e−λw auf R+ besitzt.
W die Dichte fW (w) = λ+µ
Bitte wenden!
Aufgabe 10.4 (Galton-Watson Prozess).
(6 Punkte)
Wir betrachten folgendes einfaches Populationsmodell. Am Anfang, in der 0-ten Generation, haben wir ein Individuum. Während eines Zykluses bekommt jedes Individuum, unabhängig von
allen anderen Individuen, eine zufällige Anzahl von Nachkommen und stirbt anschließend. Die
Wahrscheinlichkeit für k ∈ N0 Nachkommen sei 2−k−1 . Sei Zn die Anzahl der Individuen in der
n-ten Generation, also
Zn
X
Nn,k ,
Z0 = 1
und
Zn+1 =
k=1
wobei die Nn,k unabhängig und identisch verteilt sind und Nn,k + 1 eine geometrische Verteilung
zum Parameter 21 besitzt.
(a) Sei Gn die Erzeugendenfunktion von Zn . Zeige, dass für s ∈ [0, 1]
Gn (s) =
n − (n − 1)s
.
(n + 1) − ns
(1)
Hinweis: Verwende Induktion und Aufgabe 7.2
(b) Berechne den Erwartungswert E(Zn ).
Hinweis: Verwende entweder Induktion oder die Erzeugendenfunktion
(c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Population in der n-ten Generation bereits ausgestorben ist, also P(Zn = 0).
(d) Zeige, dass Zn , bedingt darauf, dass die Population noch nicht ausgestorben ist, geometrisch
1
. Das heißt, zu zeigen ist
verteilt ist zum Parameter n+1
P(Zn = k | Zn > 0) =
k−1
1
n
.
n+1 n+1
Hinweis: Berechne die Erzeugendenfunktion einer Zufallsgröße X, die mit Wahrscheinlich1
n
gleich 0 ist und ansonsten geometrisch verteilt zum Parameter n+1
. Vergleiche das
keit n+1
Ergebnis mit (1).
!!! Frohe Weihnachten !!!
Abgabe bis spätestens Di, 14.01.2014 um 10:15 Uhr in den Übungskasten im Foyer
Aktuelle Vorträge im Probability Seminar:
Am 17.12. gibt Angelika Rohde (Ruhr-Universität Bochum) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit: Di, 16.15 – 17.15. Raum: WSC-S-U-3.03