Präsenzübungen zur Vorlesung “Quantenmechanik I”

Erlangen den 3. Mai 2007
Präsenzübungen zur Vorlesung “Quantenmechanik I”
Q1: Berechnen Sie den Strom j(x) für die Wellenfunktion ψ(x) = eikxf (x), wobei f (x)
eine rein reelle Funktion ist.
1/4
λ
λ 2
Q2: Gegeben eine Wellenfunktion ψ(x, t) = e
exp − x . Kann sie
π
2
Lösung einer Schrödingergleichung sein? (Tipp: Testen Sie die Kontinuitätsgleichung.)
q
x) bezüglich dem Skalarprodukt
Q3: Zeigen Sie, daß die Funktionen φn = L2 sin( nπ
L
RL
hφn , φm i = 0 dx φ∗n (x)φm (x) normiert sind.
“
”
2 k2
i kx− h̄2m
t
P4: Gegeben eine negative Potentialstufe V (x) =
P5: Ein Teilchen bewegt sich im Potential V (x) =
0
für x < 0
und die Rand−W0 für x > 0
bedingung rein auslaufender Wellen in x > 0. Berechnen Sie Reflexions- und Transmissionswahrscheinlichkeit.
bedingung ist
0
für |x| < L
. Die Anfangs+∞ für |x| ≥ L
π
1 π
sin
(x + L) − sin
(x + L) .
ψ(x, 0) = √
2L
L
2L
a) Machen Sie sich klar, daß Spektrum und Eigenzustände zu diesem Potential durch
r
nπ
1
h̄2 n2 π 2
φn (x) =
sin
(x + L) ,
En =
L
2L
8mL2
gegeben sind. Tipp: Es ist keine explizite Berechnung nötig.
b) Berechnen Sie ψ(x, t).
c) Bestimmen Sie die zeitliche Entwicklung von Mittelwert und Varianz des Ortsoperators x̂ und skizzieren Sie den Verlauf. Dabei sind die Stammfunktionen
Z
cos(αx) x sin(αx)
+
dx x cos(αx) =
α2
α
2
Z
2x
2
x
2
dx x cos(αx) =
cos(αx) +
− 3 sin(αx)
α2
α
α
und die trigonometrische Identität
sin(α) sin(β) =
nützlich.
1
[cos(α + β) − cos(α − β)]
2