Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
7 Kurven-, Längen- und Flächenmessung
7.1 Parameterdarstellung von Kurven im R2 . . . . .
7.2 Kurven in der Ebene in Polardarstellung . . . . .
7.3 Tangente und Normale . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Berechnung der Länge einer ebenen Kurve . . . .
7.5 Krümmung ebener Kurven . . . . . . . . . . . . .
7.6 Flächeninhalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Volumen und Mantelfläche von Rotationskörpern
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194
194
197
198
201
204
207
209
Kapitel 7
Kurven-, Längen- und
Flächenmessung
Viele Aufgabenstellungen aus der Kurven-, Längen- und Flächenmessung lassen sich mit Methoden
der Differential- und Integralrechnung lösen. Bevor wir konkrete Aufgaben behandeln, beschäftigen
wir uns mit einer allgemeinen Möglichkeit zur Beschreibung ebener Kurven, d.h. Kurven im R2 .
Beispiele:
Ellipse
Kreis
7.1
Archimedische
Spirale
Parameterdarstellung von Kurven im R2 .
Ist f : [a, b] → R eine Funktion, dann ist G = {(x, f (x)) : a ≤ x ≤ b} der Graph von f , d.h. die
Menge aller Punkte (x, y) ∈ R2 mit y = f (x).
Problem: Schon eine einfacher Kreis ist kein Funktionsgraph.
Anschauliche Vorstellung: Eine Kurve in der Ebene beschreibt die Bahn eines Massenpunktes,
der zum Zeitpunkt t den Ortsvektor
x(t)
~x(t) =
y(t)
besitzt.
7.1.1 Definition (Parameterdarstellung)
Die vektorwertige Funktion
x(t)
~x(t) =
,
y(t)
194
a ≤ t ≤ b,
KAPITEL 7. KURVEN-, LÄNGEN- UND FLÄCHENMESSUNG
195
(bzw. die beiden Gleichungen x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b) heißt eine Parameterdarstellung der
Kurve K
K = {(x(t), y(t) : t ∈ [a, b]}.
t heißt Parameter, [a, b] Parameterintervall.
7.1.2 Beispiel
Die Gerade durch die Punkte (x0 , y0 ), (x1 , y1 ) besitzt die Parameterdarstellung
x(t) = x0 + t(x1 − x0 ) ,
bzw.
~x(t) =
x0
y0
y(t) = y0 + t(y1 − y0 ) ,
x1 − x0
+t
,
y1 − y0
t∈R
t ∈ R.
(Vergleiche Kapitel lineare Algebra)
7.1.3 Beispiel
Ist speziell f : [a, b] → R eine Funktion, so hat der Graph G die Parameterdarstellung
x(t) = t ,
y(t) = f (t) ,
t ∈ [a, b] .
7.1.4 Beispiel (Kreise)
a) Ein Kreis um (0, 0) mit Radius r wird durch die Gleichung
x2 + y 2 = r2
beschrieben.
Eine mögliche Parameterdarstellung ist
x(t) = r cos t ,
y(t) = r sin t ,
t ∈ [0, 2π] .
Die Kurve
K = {(x(t), y(t)) : x = r cos t, y = r sin t, t ∈ [0, 2π]}
beschreibt einen Kreis um (0, 0) mit Radius r, da
(x(t))2 + (y(t))2 = r2 cos2 t + r2 sin2 t = r2 .
Eine andere mögliche Parameterdarstellung ist
√
√
x(t) = r cos t , y(t) = r sin t ,
Die Kurve
K = {(x(t), y(t)) : x = r cos
√
t ∈ [0, 4π 2 ] .
√
t, y = r sin t, t ∈ [0, 4π 2 ]}
beschreibt ebenfalls einen Kreis um (0, 0) mit Radius r, da
√
√
(x(t))2 + (y(t))2 = r2 cos2 t + r2 sin2 t = r2 .
Unterschied: Für gleiche Werte (gleiche Zeitpunkte) t befindet sich der Massenpunkt an
verschiedenen Stellen des Kreises.
KAPITEL 7. KURVEN-, LÄNGEN- UND FLÄCHENMESSUNG
196
Kurvenpunkte fuer Parameterwerte: t = 0, 2π/10, 4π/10, 6π/10, ...20π/10.
x = cos(t1/2)
y = sin(t1/2)
x = cos(t)
y = sin(t)
b) Ein Kreis um (x0 , y0 ) mit Radius r wird durch die Gleichung
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2
beschrieben. Eine mögliche Parameterdarstellung ist
x(t) = x0 + r cos t ,
y(t) = y0 + r sin t ,
t ∈ [0, 2π] .
7.1.5 Beispiel (Ellipsen)
Eine Ursprungsellipse wird durch die Gleichung
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
beschrieben.
Eine mögliche Parameterdarstellung ist
x(t) = a cos t ,
denn
y(t) = b sin t ,
t ∈ [0, 2π] ,
(x(t))2 (y(t))2
+
= cos2 t + sin2 t = 1 .
a2
b2
7.1.6 Beispiel (Archimedische Spirale)
Gegeben ist die Parameterdarstellung
t cos t
~x(t) =
,
t sin t
t ∈ [0, 6π] .
Die Kurve
K = {(x(t), y(t)) : x = t cos t, y = t sin t, t ∈ [0, 6π]}
beschreibt ein Stück der sogenannten Archimedischen Spirale.
7.1.7 Beispiel (Zykloide, Epizykloide)
a) Abrollen eines Kreises mit Radius r auf der x−Achse, ohne zu gleiten. Ein mit dem Kreis fest
verbundener Punkt mit Abstand a vom Kreismittelpunkt beschreibt dabei eine sogenannte
Zykolide (Radkurve). Für diese gilt die Parameterdarstellung
x(t) = rt − a sin t ,
y(t) = r − a cos t ,
0 ≤ t < ∞.
KAPITEL 7. KURVEN-, LÄNGEN- UND FLÄCHENMESSUNG
197
b) Abrollen eines Kreises außen auf dem Rand eines anderen Kreises mit Radius R. Ein mit
dem rollenden Kreis fest verbundener Punkt mit Abstand a vom Kreismittelpunkt beschreibt
dabei eine sogenannte Epizykloide. Für diese gilt die Parameterdarstellung
R+r
R+r
x(t) = (R + r) sin t − a sin
t , y = (R + r) cos t − a cos
t , t ∈ [0, 2π] .
r
r
Ist speziell a = r = R, so erhält man die Cardioide (Herzlinie).
Zykloide (r = 1, a = 2)
Cardioide
7.2
Kurven in der Ebene in Polardarstellung
x
y
r
φ
Die Lage eines Punktes in der Ebene lässt sich auch durch den Abstand r vom Ursprung und den
mit der positiven x-Achse eingeschlossenen Winkel ϕ, d.h. durch Angabe der Polarkoordinaten
(r, ϕ) beschreiben.
Der Winkel ϕ ist nicht eindeutig. Für jedes k ∈ Z beschreibt (r, ϕ + 2kπ) denselben Punkt in der
Ebene. Ist ϕ ∈] − π, π] , so spricht man vom Hauptwert des Winkels.
Für den Ursprung ist r = 0 und ϕ beliebig.
7.2.1 Bemerkung
Die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten erfolgt über die Gleichungen
x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ .
Für die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten gilt:
r=
p
x2 + y 2 (Pythagoras) , tan ϕ =
Die Winkelbestimmung ist abhängig vom Quadranten

arctan xy
falls


 π
falls
2
ϕ=
y
π + arctan x falls


 π
−2
falls
y
.
x
x>0
x = 0, y > 0
x<0
x = 0, y < 0
KAPITEL 7. KURVEN-, LÄNGEN- UND FLÄCHENMESSUNG
198
7.2.2 Definition
Die Spitze eines um den Ursprung (0, 0) rotierenden Zeigers, der in Abhängigkeit vom Winkel ϕ
seine Länge verändert, beschreibt eine Kurve K. Die Polarkoordinaten der Kurvenpunkte sind
(ϕ, r(ϕ)) ,
α≤ϕ≤β.
r = r(ϕ) heißt Polardarstellung der Kurve.
7.2.3 Bemerkung
Eine Parameterdarstellung r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β der Kurve K ist
x(ϕ) = r(ϕ) cos ϕ ,
y(ϕ) = r(ϕ) sin ϕ
mit dem Parameter ϕ, α ≤ ϕ ≤ β.
7.2.4 Beispiel (Kreis)
r(ϕ) = R mit einer Konstanten R > 0 beschreibt einen Kreis um (0, 0) mit Radius R.
7.2.5 Beispiel (Ellipse)
Die Ellipse x(ϕ) = a cos ϕ, y(φ) = b sin ϕ besitzt in Polarkoordinaten die Darstellung (falls a ≥ b)
q
r(ϕ) = a 1 − 2 sin2 ϕ.
Dabei ist =
q
1 − (b/a)2 die Exzentrizität.
7.2.6 Beispiel (Archimedische Spirale)
r(ϕ) = ϕ. Eine zugehörige Parameterdarstellung ist
x(ϕ) = ϕ cos ϕ ,
y(ϕ) = ϕ sin ϕ ,
d.h. r(ϕ) = ϕ ist die Polardarstellung der Archimedischen Spirale.
7.3
Tangente und Normale
Grenzwerteund Ableitungen vektorwertiger Funktionen werden komponentenweise erklärt, d.h. ist
~x(t) = x(t)
Parameterdarstellung einer ebenen Kurve, so ist
y(t)
lim ~x(t) =
t→t0
lim x(t)
t→t0
lim y(t)
t→t0
und
d
~x˙ (t) = ~x(t) =
dt
ẋ(t)
ẏ(t)
7.3.1 Bemerkung
Ableitungen nach dem Kurvenparameter t werden immer durch einen Punkt bezeichnet, also ẋ(t) =
dx
etc.
dt
KAPITEL 7. KURVEN-, LÄNGEN- UND FLÄCHENMESSUNG
199
Anschaulich: Beschreibt ~x(t) die Bahnkurve eines Massenpunktes in Abhängigkeit von der Zeit t,
¨ die Beschleunigung zur Zeit t.
so ist ~x˙ (t) die Geschwindigkeit zur Zeit t, die zweite Ableitung ~x
7.3.2 Beispiel (Ellipse)
Für einen Massenpunkt, der sich zur Zeit t auf einer Ellipsenbahn
~x(t) =
a cos t
,
b sin t
0 ≤ t < 2π ,
befindet, beträgt die Geschwindigkeit
~x˙ (t) =
−a sin t
.
b cos t
Der Betrag der Geschwindigkeit ist
p
p
|~x˙ (t)| = ẋ(t)2 + ẏ(t)2 = a2 sin2 t + b2 cos2 t
und die Beschleunigung
¨ (t) =
~x
−a cos t
−b sin t
Geschwindigkeitsvektoren sind Tangentialvektoren
( hier: Ellipse)
Die Gerade durch die Kurvenpunkte (x(t0 ), y(t0 )), (x(t0 + h), y(t0 + h)) besitzt die Darstellung (s.
Beispiel 7.1.2)
x(t0 )
x(t0 + h) − x(t0 )
~x(λ) =
+λ
, λ ∈ R,
y(t0 )
y(t0 + h) − y(t0 )
oder, äquivalent,
~x(λ) =
x(t0 +h)−x(t0 ) x(t0 )
h
+ λ y(t0 +h)−y(t
,
0)
y(t0 )
h
λ ∈ R.
Für h → 0 ergibt sich die Tangente:
7.3.3 Bemerkung
Die Parameterdarstellung für die Tangente an die Kurve im Punkt (x(t0 ), y(t0 )) lautet
T~t0 (λ) = ~x(t0 ) + λ~x˙ (t0 ) =
x(t0 ) + λẋ(t0 )
,
y(t0 ) + λẏ(t0 )
KAPITEL 7. KURVEN-, LÄNGEN- UND FLÄCHENMESSUNG
200
die Parameterdarstellung der Normalen der Kurve im Punkt (x(t0 ), y(t0 ))
−ẏ(t0 )
x(t0 ) − λẏ(t0 )
~
Nt0 (λ) = ~x(t0 ) + λ
=
,
ẋ(t0 )
y(t0 ) + λẋ(t0 )
mit dem Geradenparameter λ ∈ R.
7.3.4 Definition
Für ~x˙ (t) 6= 0 ist
T~ (t) =
ẋ(t)
=
·
ẏ(t)
|~x˙ (t)|
|~x˙ (t)|
1
1
der Tangenteneinheitsvektor (in positiver Richtung) im Kurvenpunkt (x(t), y(t)),
−ẏ(t)
~ (t) = 1
N
(⊥ T~ (t))
|~x˙ (t)| ẋ(t)
der zugehörige Normaleneinheitsvektor. Er steht senkrecht auf dem Tangentenvektor.
7.3.5 Definition
Eine Parameterdarstellung x(t), y(t), a ≤ t ≤ b einer Kurve heißt regulär, wenn
~x˙ (t) 6= ~0 für alle t ∈ [a, b] .
7.3.6 Beispiel (Ellipse)
t
Für ~x(t) = ab cos
sin t , 0 ≤ t < 2π ist
T~t0 (λ) =
a cos t0
b sin t0
−a sin t0
+λ
b cos t0
die Gleichung der Tangenten und
~ t (λ) =
N
0
a cos t0
b sin t0
−b cos t0
+λ
−a sin t0
die Gleichung der Normalen im Ellipsenpunkt (x(t0 ), y(t0 )).
Z.B. zum Zeitpunkt t = 0, d.h. am Kurvenpunkt (x(0), y(0)) = (a, 0):
a
0
a
−b
~
~
T0 (λ) =
+λ
, N0 (λ) =
+λ
.
0
b
0
0
Weiter existiert ~x˙ (t) und
~x˙ (t) 6= ~0
für alle t, also handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung.
7.3.7 Bemerkung
Zum Umschreiben der Parameterdarstellung der Tangentengleichung in die Normalform nehmen
wir auf beiden Seiten von
x
x(t0 )
ẋ(t0 )
=
+λ
y
y(t0 )
ẏ(t0 )
KAPITEL 7. KURVEN-, LÄNGEN- UND FLÄCHENMESSUNG
das innere Produkt mit dem Normalenvektor
201
−ẏ(t0 )
. Dies ergibt
ẋ(t0 )
−x · ẏ(t0 ) + y · ẋ(t0 ) = −x(t0 )ẏ(t0 ) + y(t0 )ẋ(t0 ) .
Für ẋ(t0 ) 6= 0 folgt
ẏ(t0 )
ẏ(t0 )
· x + y(t0 ) − x(t0 ) ·
ẋ(t0 )
ẋ(t0 )
Die Steigung der Tangenten beträgt somit
y=
y 0 (t0 ) =
ẏ(t0 )
ẋ(t0 )
7.3.8 Beispiel (Steigung der Tangente an die Ellipse)
Mit x(t) = a cos t, y(t) = b sin t folgt für die Tangentensteigung y 0 (t0 ) im Ellipsenpunkt
(x(t0 ), y(t0 )):
ẏ(t0 )
b cos t0
y 0 (t0 ) =
=− ·
, t0 6= kπ
ẋ(t0 )
a sin t0
Umrechnung in kartesische Koordinaten ergibt
b x/a
b2 x
y0 = − ·
=− 2 · ,
a y/b
a y
7.4
y 6= 0
Berechnung der Länge einer ebenen Kurve
7.4.1 Satz
a) Die Länge eines Kurvenstücks mit regulärer Parameterdarstellung ~x(t) =
beträgt
Z bp
Z b
2
2
L=
ẋ(t) + ẏ(t) dt =
|~x˙ (t)| dt
a
x(t)
,
y(t)
a≤t≤b
a
b) Ist f ∈ C 1 [a, b], so hat der Graph von f die Länge
Z bp
L=
1 + [f 0 (x)]2 dx
a
c) Die Länge eines Kurvenstücks in Polarkoordinatendarstellung r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β, beträgt
s
Z β
dr(ϕ) 2
L=
r(ϕ)2 +
dϕ
dϕ
α
zu (1): Man zerlegt das Parameterintevall [a, b] in n äquidistante Teilintervalle [ti−1 , ti ], i = 1, 2, ..., n
mit a = t0 < t1 < ... < tn = b, ti − ti−1 =M t.
KAPITEL 7. KURVEN-, LÄNGEN- UND FLÄCHENMESSUNG
202
Die Länge einer Sehne beträgt
M si =
p
(M xi )2 + (M yi )2
mit
M xi = x(ti ) − x(ti−1 ) ,
M yi = y(ti ) − y(ti−1 )
Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung existieren ξi , ηi ∈ [ti−1 , ti ] mit
M xi = ẋ(ξi ) M t ,
M yi = ẏ(ηi ) M t
d.h.
M si =
p
ẋ(ξi )2 + ẏ(ηi )2 M t
Approximation der Kurvenlänge durch die Summe über die Sehnenlängen liefert
L≈
n p
X
ẋ(ξi )2 + ẏ(ηi )2 M t
i=0
Der Grenzübergang M t → 0 liefert dann die gewünschte Kurvenlänge
Z bp
L=
ẋ(t)2 + ẏ(t)2 dt
a
zu (2): folgt aus (1), da x(t) = t, y(t) = f (t) reguläre Parametrisierung der Kurve y = f (x) ist, und
dann ist ẋ(t) = 1, ẏ(t) = f 0 (t).
cos ϕ
zu (3): folgt aus (1), da die zugehörige Parameterdarstellung durch ~x(ϕ) = r(ϕ)
gegeben ist.
r(ϕ) sin ϕ
Denn dann ist
dr(ϕ)
dr(ϕ)
− r(ϕ) sin ϕ , ẏ(ϕ) = sin ϕ
+ r(ϕ) cos ϕ
ẋ(ϕ) = cos ϕ
dϕ
dϕ
also
2
2
(ẋ(ϕ)) + (ẏ(ϕ))
dr(ϕ) 2
dr(ϕ)
= cos ϕ
− 2 sin ϕ cos ϕ r(ϕ)
+ sin2 ϕ(r(ϕ))2
dϕ
dϕ
dr(ϕ) 2
dr(ϕ)
2
+ sin ϕ
+ 2 sin ϕ cos ϕ r(ϕ)
+ cos2 ϕ(r(ϕ))2
dϕ
dϕ
dr(ϕ) 2
2
2
2
= (r(ϕ)) (sin ϕ + cos ϕ) +
(sin2 ϕ + cos2 ϕ)
dϕ
dr(ϕ) 2
2
= (r(ϕ)) +
.
dϕ
2
7.4.2 Beispiel
a) (Cardioide) Sei x(t) = 2 sin t − sin (2t), y(t) = 2 cos t − cos (2t), 0 ≤ t ≤ 2π. Dann gilt
ẋ(t) = 2 cos t − 2 cos(2t), ẏ(t) = −2 sin t + 2 sin(2t) und somit
(ẋ(t))2 + (ẏ(t))2 = 4 cos2 t − 2 cos t cos(2t) + cos2 (2t) + 4 sin2 (t) − 2 sin t sin(2t) + sin2 (2t)
= 8 − 8 cos t cos(2t) − 8 sin t sin(2t)
(Additionstheoreme für sin(2t), cos(2t))
= 8 − 8 cos t(1 − 2sin2 t) − 8 sin t(2 sin t cos t)
= 8 − 8 cos t
(Additionstheorem: cos(t) = 2 cos2 (t/2) − 1)
= 16(1 − cos2 (t/2)).
KAPITEL 7. KURVEN-, LÄNGEN- UND FLÄCHENMESSUNG
Somit ist die Bogenlänge
L =
2π
Z
0
= 4
Z
p
2π
Z
p
1 − cos2 (t/2) dt
0
= 4
ẋ(t)2 + ẏ(t)2 dt
2π
| sin(t/2)| dt
0
= 4
Z
2π
sin(t/2) dt
0
=
−8 cos(t/2)|2π
0
= 16
b) Der Bogen der Normalparabel y = x2 über dem Intervall [0, x0 ], x0 > 0, hat die Länge
Z x0 p
Z x0 p
2
L=
1 + (2x) dx =
1 + 4x2 dx
0
√
0
4x2 .
Berechnung der Stammfunktion von 1 +
Nötige Substitutionen:
t = 2x, x = t/2, dt = 2dx
√
v = arsinh √
t = ln (t + t2 + 1),
t = sinh v, t2 + 1 = cosh v
dt = cosh vdv
Z p
Z
1 p
1 + 4x2 dx =
1 + t2 dt
2
Z
1
=
(cosh v)2 dv
2
Z
11
=
(ev + e−v )2 dv
24
Z
1
=
(e2v + 2 + e−2v ) dv
8
1 1 2v
1
=
( e + 2v − e−2v ) + C
8 2
2
11 v
1 1
=
(e + e−v )(ev − e−v ) + v + C
42
2 4
1
1
=
cosh v sinh v + v + C
4
4
p
1 p
1
=
t 1 + t2 + ln(t + t2 + 1) + C
4
4
p
1 p
1
2
=
x 1 + 4x + ln (2x + 1 + 4x2 ) + C
2
4
Damit folgt
x0
p
1 p
2
2
L =
x 1 + 4x + ln (2x + 1 + 4x )
2
0
q
q
1
2
2
=
x0 1 + 4x0 + ln 2x0 + 1 + 4x0
2
203
KAPITEL 7. KURVEN-, LÄNGEN- UND FLÄCHENMESSUNG
204
(ϕ)
c) Archimedische Spirale mit r(ϕ) = ϕ, dr
= 1. Die Bogenlänge nach k Umläufen, d.h.
dϕ
0 ≤ ϕ ≤ k · 2π beträgt
L =
Z
0
k·2π
p
ϕ2 + 1 dϕ
2kπ
p
1 p
1 2
2
=
ϕ 1 + ϕ + ln ϕ + 1 + ϕ 2
2
0
p
p
1
= kπ 1 + (2kπ)2 + ln 2kπ + 1 + (2kπ)2
2
7.5
Krümmung ebener Kurven
Anschaulich: Fährt man einen Weg entlang, so merkt man am Einschlag des Lenkrads, ob eine
Kurve stärker oder schwächer gekrümmt ist, und ob es sich um eine Links- oder Rechtskurve
handelt.
7.5.1 Definition
Die Krümmung κ in einem Kurvenpunkt (x, y) ist die Änderung des Neigungswinkels der Tangente
bezogen auf die Bogenlänge des zugehörigen Kurvenstücks:
κ=
dα
Mα
= lim
,
Ms→0 M s
ds
(wenn der Grenzwert existiert).
7.5.2 Satz (Krümmung bei Parameterdarstellung)
Für eine Kurve in Parameterdarstellung gilt für die Krümmung im Punkt (x(t), y(t)):
κ = κ(t) =
ẋ(t)ÿ(t) − ẏ(t)ẍ(t)
(ẋ(t)2 + ẏ(t)2 )3/2
KAPITEL 7. KURVEN-, LÄNGEN- UND FLÄCHENMESSUNG
Zum Beweis berechnen wir
dα
ds
als
dα
dt
·
dt
ds .
205
Dabei ist α = arctan(ẏ(t)/ẋ(t)), also
dα
1
ẋ(t)ÿ(t) − ẏ(t)ẍ(t)
ẋ(t)ÿ(t) − ẏ(t)ẍ(t)
=
·
=
.
dt
1 + (ẏ(t)/ẋ(t))2
ẋ(t)2
ẋ(t)2 + ẏ 2
Rtp
Für die Bogenlänge ist s(t) = a ẋ(u)2 + ẏ(u)2 du, also nach dem Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung
ds p
= ẋ(t)2 + ẏ(t)2
dt
=⇒
dt
1
=p
.
2
ds
ẋ(t) + ẏ(t)2
Damit ergibt sich die behauptete Formel für
dα
ds
=
dα
dt
·
dt
ds .
7.5.3 Definition
Punkte einer Kurve, in denen die Krümmung ein relatives Extremum hat, heißen Scheitel.
7.5.4 Beispiel (Ellipse)
Für die Parametrisierung x(t) = a cos t, y(t) = b sin t gilt
ẋ(t) = −a sin t ,
ẍ(t) = −a cos t
ẏ(t) = b cos t
ÿ(t) = −b sin t
Damit gilt für die Krümmung
κ(t) =
=
=
(−a sin t)(−b sin t) − b cos t(−a cos t)
(a2 sin2 t + b2 cos2 t)3/2
ab(sin2 t + cos2 t)
(a2 sin2 t + b2 cos2 t)3/2
ab
2
2
(a sin t + b2 cos2 t)3/2
Ist speziell a = b = R (Kreis mit Radius R), dann ist
κ(t) =
R2
1
= .
2
3/2
2
2
2
R
(R sin t + R cos t)
In einem Kreis ist die Krümmung also in jedem Punkt gleich groß. Mit wachsendem Radius wird
die Krümmung kleiner. Beides entspricht der Anschauung.
Wir berechnen noch die Scheitel der Ellipse:
κ̇(t) =
κ̈(t) =
Da
−3ab(a2 − b2 ) sin t cos t
(a2 sin2 t + b2 cos2 t)5/2
3ab(a2 − b2 )[a2 sin2 t(1 + 3 cos2 t) − b2 cos2 t(1 + 3 sin2 t)]
(a2 sin2 t + b2 cos2 t)7/2
π
π
κ̇(t) = 0 ⇐⇒ t = k · , k ∈ Z und κ̈ k ·
6= 0
2
2
liegen die Scheitel bei t = k · π2 , k ∈ Z. Die Krümmungen dort betragen
π
a
b
κ(kπ) = 2 κ
+ kπ = 2 , k ∈ Z
b
2
a
KAPITEL 7. KURVEN-, LÄNGEN- UND FLÄCHENMESSUNG
206
7.5.5 Satz (Krümmung bei kartesischen Koordinaten)
Sei y = f (x), f ∈ C 2 [a, b]. Dann ist die Krümmung im Punkt (x, f (x)) des Graphen von f gegeben
durch
y 00
κ(x) =
(1 + (y 0 )2 )3/2
Außerdem gilt:
κ(x) > 0 ⇔ f 00 (x) > 0 -Linkskrümmung (zunehmende α− Werte)
κ(x) < 0 ⇔ f 00 (x) < 0 -Rechtskrümmung (abnehmende α− Werte)
Der Beweis ergibt sich aus Satz 7.5.2 unter Verwendung der Parameterdarstellung x = t, y = f (t)
für den Graphen von f .
7.5.6 Beispiel (Krümmung der Sinuskurve)
=⇒
f (x) = sin x , f 0 (x) = cos x ,
− sin x
κ(x) =
(1 + cos2 x)3/2
f 00 (x) = − sin x
Für x ∈]0, π[ ist κ(x) < 0, also Rechtskrümmung, für x ∈]π, 2π[ ist κ(x) > 0, also Linkskrümmung.
Scheitel:
dκ
2 cos x(1 + sin2 x)
=
dx
(1 + cos2 x)3
Somit ist
dκ(x)
=0
dx
⇐⇒
cos x = 0
⇐⇒
π
x = (2k + 1) ,
2
k ∈ Z.
2
π
Da d dκ(x)
2 x ((2k+1) 2 ) 6= 0, handelt es sich um relative Extremalstellen von κ(x). Die Scheitel befinden
sich also an den Stellen
π
x = (2k + 1) , k ∈ Z .
2
7.5.7 Satz (Krümmung bei Polardarstellung)
Für eine Kurve in Polardarstellung r(ϕ) gilt für die Krümmung im Kurvenpunkt (ϕ, r(ϕ)):
κ(ϕ) =
r(ϕ)2 + 2ṙ(ϕ)2 − r(ϕ)r̈ϕ
.
(ṙ(ϕ)2 + r(ϕ)2 )3/2
Der Beweis geht wieder durch Rückführung auf Satz 7.5.2, diesmal mit t = ϕ, x(t) = r(t) ·
cos t, y(t) = r(t) · sin t.
7.5.8 Beispiel (Archimedische Spirale)
Es sei r(ϕ) = ϕ, ϕ ≥ 0, die Polardarstellung der archimedischen Spirale.
Krümmung
ϕ2 + 2
κ(ϕ) =
(1 + ϕ2 )3/2
Aus
κ̇(ϕ) =
Dann gilt für die
−ϕ(4 + ϕ2 )
< 0 falls ϕ > 0 ,
(1 + ϕ2 )5/2
fogt, dass die Krümmung mit wachsendem Winkel abnimmt. Es gibt also keine Scheitel.
KAPITEL 7. KURVEN-, LÄNGEN- UND FLÄCHENMESSUNG
7.6
207
Flächeninhalte
7.6.1 Satz (Fläche zwischen zwei Graphen)
Seien f, g ∈ C[a, b]. Der Inhalt der von y1 = f (x), y2 = g(x), x = a und x = b berandeten Fläche
beträgt
Z b
F =
|f (x) − g(x)| dx .
a
7.6.2 Beispiel
√
Die Fläche zwischen f (x) = 41 x2 und g(x) = 2 x über dem Intervall [0, 4] beträgt
Z 4
1 2
√ x − 2 x dx
F =
4
0
Z 4
√
1 2
=
2 x− x
dx
4
0
4 3/2
1 3 4
=
x − x 3
12 0
16
=
3
7.6.3 Satz (Sektorflächen in Polarkoordinaten)
Gegeben sei eine Kurve r(ϕ) in Polardarstellung mit r ∈ C[α, β], wobei jeder vom Ursprung
ausgehende Strahl in Richtung des rotierenden Zeigers die Kurve nur einmal schneiden darf. Dann
ist der Inhalt der von der Kurve r(ϕ) und ϕ = α, ϕ = β berandeten Sektorfläche
Z
1 β
F =
r(ϕ)2 dϕ
2 α
Beweis: Teile den Winkelbereich [α, β] in äquidistante Teilintervalle [ϕi−1 , ϕi ], i = 1, . . . , n mit
α = ϕ0 < ϕ1 < · · · < ϕn = β, ∆ϕ = ϕi − ϕi−1 . Näherungsweise entspricht der Flächeninhalt der
Sektorfläche zwischen den Winkeln ϕi−1 und ϕi dem Flächeninhalt eines Kreissektors mit Radius
r(ϕi ), d.h.
∆ϕ
1
r(ϕi )2 π = r(ϕi )2 ∆ϕ
2π
2
Summation über alle Sektoren liefert als Näherung für den Flächeninhalt
n
F ≈
1X
r(ϕi )2 ∆ϕ
2
i=1
Mit dem Grenzübergang ∆ϕ → 0 ergibt sich dann die behauptete Formel.
KAPITEL 7. KURVEN-, LÄNGEN- UND FLÄCHENMESSUNG
7.6.4 Beispiel (Archimedische Spirale)
a) Sektorfläche nach einem Umlauf,
d.
h.
r(ϕ)
208
=
ϕ,
0
≤
ϕ
≤
2π.
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−3
F
−2
−1
0
1
2
=
1
Z
2
3
4
5
6
2π
ϕ2 dϕ
0
1 3 2π
ϕ
6 0
4 3
π
3
=
=
b) Sektorfläche nach zwei Umläufen, d. h. r(ϕ) = ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 4π.
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
−10
−5
0
5
10
Hier ist nun Vorsicht geboten, da der vom Ursprung ausgehende Strahl in Richtung des
rotierenden Zeigers die Kurve nicht nur einmal schneidet. Um die Formel verwenden zu
können, muss man hier den Winkelbereich 2π ≤ ϕ ≤ 4π betrachten und erhält
Z
1 4π 2
F =
ϕ dϕ
2 2π
1 3 4π
=
ϕ
6 2π
28 3
=
π
3
7.6.5 Satz (Sektorflächen in Parameterdarstellung)
Sei ~x(t), a ≤ t ≤ b eine stückweise stetig differenzierbare Parameterdarstellung eines ebenen Kurvenstücks, wobei jeder Strahl vom Ursprung das Kurvenstück höchstens einmal schneidet. Dann
beträgt der Inhalt der durch das Kurvenstück begrenzten Sektorfläche
Z
1 b
F = (x(t)ẏ(t) − y(t)ẋ(t)) dt
2 a
KAPITEL 7. KURVEN-, LÄNGEN- UND FLÄCHENMESSUNG
209
Beweis: Sei α = ϕ(a), β = ϕ(b).
1. Fall: α < β: Dann ist nach Satz 7.6.3
1
F =
2
Z
β
r(ϕ)2 dϕ.
α
Mit der Substitution
dϕ
1
ẋ(t)y(t) − x(t)ẏ(t)
ẋ(t)y(t) − x(t)ẏ(t)
=
·
=
2
2
dt
1 + (x(t)/y(t)
y(t)
x(t)2 + y(t)2
ϕ = arctan(x(t)/y(t)),
erhält man
F
=
=
1
2
Z
1
2
Z
b
(x(t)2 + y(t)2 ) ·
a
ẋ(t)y(t) − x(t)ẏ(t)
dt
x(t)2 + y(t)2
b
(x(t)ẏ(t) − y(t)ẋ(t)) dt
a
2. Fall: α ≥ β: Man erhält diesmal
F =
1
2
Z
a
(x(t)ẏ(t) − y(t)ẋ(t)) dt.
b
Beide Fälle zusammengefasst ergibt die Formel mit dem Betrag.
7.6.6 Beispiel (Flächeninhalt der Ellipse)
Der Flächeninhalt einer Ellipse mit der Parameterdarstellung ~x(t) =
beträgt
Z
1 2π
2
2
F =
(ab cos t + ab sin t) dt
2 0
Z 2π
1
=
ab
1 dt
2
0
= abπ
7.7
a cos t
b sin t
, 0 ≤ t ≤ 2π, a, b > 0
Volumen und Mantelfläche von Rotationskörpern
7.7.1 Beispiel (zwei Rotationskörper)
√
y= x
y = cos(x)
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
−1.5
1.5
−1
1
1
2
0.5
1.5
0
1
−0.5
0.5
−1
−1.5
0
3
2.5
0.5
2
1.5
0
1
−0.5
0.5
−1
0
KAPITEL 7. KURVEN-, LÄNGEN- UND FLÄCHENMESSUNG
210
7.7.2 Satz
Sei f ∈ C[a, b]. Das Volumen des durch Rotation des Kurvenstücks y = f (x), x ∈ [a, b] um die
x-Achse entstehenden Körpers beträgt
Z b
V =π
f (x)2 dx
a
Beweis:
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
−1
−1.5
−1.5
−2
2
−2
2
2
1
1.8
0
1.6
1.4
−1
2
1
1.8
0
1.6
1.4
−1
1.2
−2
1.2
−2
1
1
Zerlegt man das Intervall [a, b] in äquidistante Teilintervalle [xi i − 1, xi ], i = 1, . . . , n, der Länge
∆x = xi − xi−1 , so ist die Summe über den Inhalt der Zylinder mit Radius f (xi ) und Höhe ∆x
eine Näherung für das gesuchte Volumen des Rotationskörpers. Es gilt also
V ≈
n
X
πf (xi )2 ∆x
i=1
Der Grenzübergang ∆x → 0 liefert die behauptete Formel.
7.7.3 Beispiel (Volumen eines Kegelstumpfs)
1
Für R1 , R2 , h > 0 sei f (x) = R2 −R
x + R1 . Durch Rotation von y = f (x) um die x-Achse entsteht
h
ein Kegelstumpf.
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
3
0.5
2.5
0
2
−0.5
1.5
1
Für sein Volumen ergibt sich
V
2
R 2 − R1
= π
x + R1
dx
h
0
3 h
h
1 R2 − R1
= π
·
x + R1 R2 − R1 3
h
Z
h
0
h
1
= π
· (R23 − R13 )
R2 − R1 3
h
= π (R22 + R1 R2 + R12 )
3
da R23 − R13 = (R2 − R1 )(R22 + R1 R2 + R12 )
KAPITEL 7. KURVEN-, LÄNGEN- UND FLÄCHENMESSUNG
211
7.7.4 Satz
Sei f ∈ C 1 [a, b]. Die Mantelfläche des durch Rotation des Kurvenstücks y = f (x), a ≤ x ≤ b
enstehenden Körpers beträgt
M = 2π
Z
a
b
p
|f (x)| 1 + f 0 (x)2 dx
Beweis:
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
−1
−1.5
−1.5
−2
2
−2
2
2
1
2
1
1.8
0
1.4
−1
1.8
0
1.6
1.6
1.4
−1
1.2
−2
1.2
−2
1
1
Man nähert das Kurvenstück durch einen rotierenden Sekantenzug an (den Rotationskörper also
durch eine Zusammensetzung von Kegelstümpfen). Es gilt dann für die zugehörige Mantelfläche
M
n
X
p
≈
π (∆x)2 + (f (xi ) − f (xi−1 ))2 (|f (xi )| + |f (xi−1 |)
i=1
n
X
p
=
π (∆x)2 + f 0 (ξi )2 (∆x)2 (|f (xi )| + |f (xi−1 |)
i=1
(Mittelwertsatz der Differentialrechnung)
n
X
p
=
π 1 + f 0 (ξi )2 (|f (xi )| + |f (xi−1 |)∆x
i=1
Der Grenzübergang ∆x → 0 liefert die behauptete Formel.
7.7.5 Beispiel (Mantelfläche eines Paraboloids)
√
√
Sei f (x) = x. Dann ist f 0 (x) = 12 x. Die zugehörige Mantelfläche mit 0 ≤ x ≤ 2 beträgt
M
Z
= 2π
Z
= π
2√
0
2√
r
x 1+
1
dx
4x
4x + 1 dx
0
2
3
1 2
= π · · (4x + 1) 2 4 3
0
3
π 3
=
92 − 12
6
13
=
π
3