3 Determinanten, Eigenwerte, Normalformen

3
3.1
Determinanten, Eigenwerte, Normalformen
Determinanten
Beispiel. Betrachte folgendes Parallelogramm in der Ebene R2 :
y
6
s (c, d) s (a + c, b + d)
s
(a, b)
s -
x
Man rechnet leicht nach, dass die Fläche F dieses Parallelogramms ad − bc ist.
Dieser Wert ist aber genau der Wert der (noch zu definierenden) Determinante
der Vektoren (a, b), (c, d) ∈ R2 , die das Parallelogramm aufspannen:
a b
F = ad − bc = det
.
c d
Definition 3.1.1. Eine Determinantenfunktion auf Mn (K) ist eine Abbildung
det : Mn (K) → K
die folgende Eigenschaften erfüllt:
(D1) det ist linear in jeder Zeile;
(D2) A ∈ Mn (K) nicht regulär =⇒ det A = 0;
(D3) (Normierung) det In = 1 (In die n × n Einheitsmatrix).
Bemerkung. Man sieht sofort: für n = 1 gibt es genau eine Determinantenfunktion, die gegeben ist durch det(a) = a (∀a ∈ K).
1
Zur Erinnerung (siehe § 1.5): Sn ist die Gruppe der Permutationen einer nelementigen Menge, typischerweise {1, 2, . . . , n}. Ein Element σ ∈ Sn kann in
2-Zeilennotation oder als Produkt (disjunkter) Zykel geschrieben werden, z.B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
= (1 4 6)(2 7)(3 9 5 8) ∈ S9 .
4 7 9 6 8 1 2 3 5
Jedes σ ∈ Sn lässt sich als Produkt von Transpositionen τi schreiben: σ =
τ1 τ2 . . . τm . Die Anzahl m von Transpositionen in diesem Produkt ist dabei eindeutig bestimmt modulo 2, und man definiert die Signatur von σ als sgn(σ) =
(−1)m . Man nennt σ gerade falls sgn(σ) = 1, ungerade falls sgn(σ) = −1. Die
Menge der geraden Permutationen ist eine Untergruppe von Sn , die sogenannte
alternierende Gruppe An = {σ ∈ Sn | sgn(σ) = 1}. Ist τ eine beliebige Transposition, so ist Sn = An ∪ τ An eine disjunkte Vereinigung, und es gilt für n ≥ 2:
|Sn | = 2|An | = n! .
Definition und Satz 3.1.2. Für A = (aij ) ∈ Mn (K) definieren wir
∆(A) :=
X
sgn(σ)
n
Y
aiσ(i) .
i=1
σ∈Sn
Dann ist ∆ : Mn (K) 7→ K eine Determinantenfunktion.
Bemerkung. Für n = 2gilt S2 = {id, σ} mit σ = (1 2), sgn(σ) = − sgn(id) =
a11 a12
−1. Sei A =
. Dann gilt ai id(i) = aii , a1σ(1) = a12 und a2σ(2) = a21 .
a21 a22
Somit ∆(A) = a11 a22 − a12 a21 . Man vergleiche dies mit dem Beispiel zu Beginn
dieses Abschnitts.
Satz und Definition 3.1.3. Für alle Körper K und für alle n ∈ N gibt es genau
eine Determinantenfunktion det : Mn (K) → K. Für A = (aij ) ∈ Mn (K) ist
diese gegeben durch
det(A) = ∆(A) =
X
σ∈Sn
sgn(σ)
n
Y
aiσ(i)
i=1
und dies wird kurz als Determinante von A bezeichnet. Die obige Formel für
det(A) = ∆(A) wird auch Leibnizformel genannt.
Notation 3.1.4. Sei A ∈ Mn (K), n ≥ 2, und seien i, j ∈ {1, . . . , n}. Man
definiert A(ij) ∈ Mn−1 (K) als die Matrix, die durch Streichen der i-ten Zeile und
j-ten Spalte aus A hervorgeht.
2
Beispiel.


1 2 3
A = 4 5 6 
7 8 10
A
(13)
4 5
=
7 8
(22)
A
1 3
=
7 10
Satz 3.1.5 (Entwicklungssatz von Laplace). Seien A ∈ Mn (K) und i, j ∈
{1, 2, . . . , n}.
• Entwicklung der Determinante nach der j-ten Spalte:
n
X
det(A) =
(−1)i+1 aij det(A(ij) ) .
i=1
• Entwicklung der Determinante nach der i-ten Zeile:
n
X
det(A) =
(−1)i+1 aij det(A(ij) ) .
j=1
Bemerkung. Das “Vorzeichenmuster” (−1)i+j beim Entwickeln ist wie folgt:


+ − + − ···
− + − + · · · 


+ − + − · · ·


.. .. .. ..
. . . .
Notation. Man schreibt oft
a11 . . . a1n ..
.. .
. an1 . . . ann 

a11 . . . a1n

..  .
det  ...
. 
an1 . . . ann
statt
a b
Beispiel. (1) Für A =
erhält man (Entwicklung nach erster Spalte):
c d
det A = a det A(11) − c det A(21) = ad − bc.


1 2 3
(2) Für A = 4 5 6  erhält man (Entwicklung nach dritter Zeile):
7 8 10
2 3 1 3 1 2 − 8
det A = 7 4 6 + 10 4 5 = −21 + 48 − 30 = −3
5 6
3


a11 a12 a13
Bemerkung 3.1.6. Für 3 × 3 Matrizen A = a21 a22 a23  kann man det A
a31 a32 a33
mittels der Regel von Sarrus bestimmen: In der folgenden erweiterten Matrix
nimmt man die Summe der Produkte der Koeffizienten in den “links oben nach
rechts unten” Diagonalen, und subtrahiert die Summe der Produkte der Koeffizienten in den “links unten nach rechts oben” Diagonalen:
a11
a12
@
a21
a31
@
@
a13
@
@
@
@
@
@
@
@
a22
a32
a23
a33
@
@
a11
a12
a21
a22
@
@
@
a31
@
@
a32
det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21 a12 .
Zum Beweis der Eindeutigkeit der Determinantenfunktion (siehe Satz 3.1.3)
benötigen wir zunächst:
b∈
Satz 3.1.7. Sei D : Mn (K) → K eine Determinantenfunktion und seien A, A
b geht aus A hervor durch
Mn (K). Dann gilt: A
b = −D(A);
(1) Vertauschen zweier Zeilen von A =⇒ D(A)
b =
(2) Multiplizieren einer Zeile von A mit einem Skalar λ ∈ K =⇒ D(A)
λD(A);
(3) Addieren eines Vielfachen einer Zeile von A zu einer anderen Zeile von A
b = D(A).
=⇒ D(A)
Definition 3.1.8. Man nennt A = (aij ) ∈ Mn (K) eine obere Dreiecksmatrix
(bzw. untere Dreiecksmatrix) falls aij = 0 ∀i > j (bzw. aij = 0 ∀i < j).
Man nennt A = (aij ) ∈ Mn (K) eine Diagonalmatrix falls aij = 0 ∀i 6= j (d.h.
A ist dann sowohl obere als auch untere Dreiecksmatrix).
Beispiel.






1 2 3
1 0 0
1 0 0
0 4 5
2 3 0
0 2 0
0 0 6
4 5 6
0 0 3
obere Dreiecksmatrix untere Dreiecksmatrix Diagonalmatrix
4
Um Satz 3.1.3 zu beweisen, zeigt man im nächsten Schritt, dass Determinantenfunktionen zumindest auf oberen Dreiecksmatrizen übereinstimmen.
Lemma 3.1.9. Seien D, D0 : Mn (K) → K Determinantenfunktionen
Qn und sei
A = (aij ) ∈ Mn (K) eine obere Dreiecksmatrix. Dann gilt: D(A) = i=1 aii =
D0 (A) (Produkt der Elemente in der Hauptdiagonalen der Matrix).
Als nächten Schritt im Beweis von Satz 3.1.3 untersucht man nun das Verhalten
von Determinantenfunktionen unter Zeilenumformungen einer Matrix.
Lemma 3.1.10. Sei D : Mn (K) → K eine Determinantenfunktion und sei
b ∈ Mn (K) eine Matrix die aus A hervorgeht durch ZeilenumA ∈ Mn (K). Sei A
formungen vom Typ (1) oder (3) in Satz 3.1.7, wobei Typ (1) (Vertauschen der
b = (−1)s D(A).
Zeilen) s mal angewendet wurde. Dann gilt D(A)
Angenommen D, D0 : Mn (K) → K sind Determinantenfunktionen. Indem man
nun eine Matrix durch Zeilenumformungen vom Typ (1) und (3) in eine obere
Dreiecksmatrix überführt (dies geht immer, siehe Lineare Algebra 1) und die
vorherigen zwei Lemmas anwendet, erhält man D(A) = D0 (A) für alle A ∈
Mn (K). Dies zeigt die Eindeutigkeit der Determinantenfunktion in Satz 3.1.3.
Korollar 3.1.11. Sei A ∈ Mn (K). Dann gilt: A ist regulär ⇐⇒ A ist invertierbar ⇐⇒ det A 6= 0.
Definition 3.1.12. Sei A = (aij ) ∈ Mn×m (K). Man definiert die Transponierte
von A durch At = (atij ) ∈ Mm×n (K) mit atij := aji , d.h. die i-te Zeile (bzw.
j-te Spalte) in A wird zur i-ten Spalte (bzw. j-ten Zeile) in At
Beispiel.
t
1 2
1
3
5
3 4  =
2 4 6
5 6

Korollar 3.1.13. Sei A ∈ Mn (K). Dann gilt det(A) = det(At ).
b ∈ Mn (K). Dann gilt: A
b geht aus A hervor durch
Korollar 3.1.14. Seien A, A
b =
(1) Vertauschen zweier Spalten (bzw. zweier Zeilen) von A =⇒ det(A)
− det(A);
(2) Multiplizieren einer Zeile (bzw. einer Spalte) von A mit einem Skalar
b = λ det(A);
λ ∈ K =⇒ det(A)
5
(3) Addieren eines Vielfachen einer Spalte (bzw. Zeile) von A zu einer anderen
b = det(A).
Spalte (bzw. Zeile) von A =⇒ det(A)
Dies erlaubt es, Determinanten zu berechnen durch Kombinieren von Zeilen- und
Spaltenumformungen.
e = (e
Definition und Satz 3.1.15. Sei A ∈ Mn (K). Man definiert A
aij ) ∈
i+j
(ji)
Mn (K) durch e
aij := (−1) det A
(man beachte die Reihenfolge der Ine heißt die zu A komplementäre Matrix.
dizes!). A
e = AA
e = det(A) · In .
Es gilt: AA
Insbesondere gilt: Ist A invertierbar, also det(A) 6= 0, so gilt: A−1 =
1 2 3
Beispiel. A = 4 5 6 . Dann gilt:
1
det(A)
e
· A.
7 8 10
6 = 2
e
a11 = 58 10
6 = 2
e
a21 = − 47 10
e
a31 = 47 58 = −3
3 = 4
e
a12 = − 28 10
3 = −11
e
a22 = 17 10
e
a32 = − 17 28 = 6
e
a13 = 25 36 = −3
e
a23 = − 14 36 = 6
e
a33 = 14 25 = −3
Wir wissen schon: det A = −3. Also:


2
4 −3
1
6  .
A−1 = −  2 −11
3
−3
6 −3
Satz 3.1.16 (Determinantenmultiplikationssatz). ∀A, B ∈ Mn (K) gilt:
det(AB) = det(A) · det(B)
Korollar 3.1.17. (i) Für GLn (K), die allgemeine lineare Gruppe vom Grad n
über K (siehe auch Definition 2.6.1) gilt
GLn (K) = {A ∈ Mn (K) | A invertierbar} = {A ∈ Mn (K) | det(A) 6= 0} .
(ii) Die Abbildung det : GLn (K) → K ∗ : A 7→ det(A) ist ein Gruppenhomomorphismus in die multiplikative Gruppe (K ∗ , · ).
(iii) Für alle A ∈ Mn (K) und alle n ∈ N0 gilt: det(An ) = det(A)n . Für alle
A ∈ GLn (K) und alle n ∈ Z gilt det(An ) = det(A)n .
6
Bemerkung 3.1.18. Es gilt
a b
A=
∈ GL2 (K)
c d
⇐⇒
det(A) = ad − bc 6= 0
In diesem Fall und mittels 3.1.15 erhält man
1
d −b
−1
A =
ad − bc −c a
1 2
Beispiel. Für A =
∈ M2 (Q) hat man det(A) = −2, somit A ∈
3 4
GL2 (Q) und
1 4 −2
−2
1
−1
A =−
=
.
3/2 −1/2
2 −3 1
7