Numerik I

Übungen zur Vorlesung
Numerik I
Sommersemester 2016
Übungsblatt 1
13.4.2016
PD Dr. Thorsten Hüls
Abgabe: Mittwoch, 20.4.2016, 10:00 Uhr in das jeweilige Postfach in V3-128
Elena Isaak, [email protected], Postf. 92
Christian Vieth, [email protected], Postf. 113
André Wilke, [email protected], Postf. 179
Aufgabe 1:
Gegeben sei die Folge (aj )j∈N , definiert durch
aj =
1
,
10i
wobei i ∈
N durch die Bedingung
i−1
X
k=0
10k ≤ j ≤
i
X
10k
k=1
eindeutig festgelegt ist. Wir betrachten die (von links nach rechts) mit Mantissenlänge 4, bezüglich der Basis 10, berechneten Partialsummen:
V (n) = a1 + a2 + · · · + an ,
R(n) = an + an−1 + · · · + a1 .
Beweisen Sie, dass bei Berechnung dieser Summen die folgenden Aussagen gelten:
(a) Es existiert ein N ∈
alle n, m ≥ N.
N (welches minimal anzugeben ist) mit V (n) = V (m) für
(b) Für n ≥ N mit N aus Schritt (a) gilt R(n) ≥ R(N).
(c) R(n) ≥ V (n) für alle n ∈
N.
(6 Punkte)
Aufgabe 2:
(i) Implementieren Sie den folgenden Algorithmus zur Berechnung der Partialsumme einer Folge (ai )i∈N , wobei zusätzlich alle Operationen mit Mantissenlänge 4 durchzuführen sind:
s
c
i
=0
=0
=
 1, · · · , n
 y = ai − c

 t = s+y

 c = (t − s) − y
s = t
Sei K(n) das Ergebnis dieses Algorithmus, angewendet auf die Folge aus Aufgabe 1.
Plotten Sie für n ∈ [1, 106 ] die jeweiligen Approximationsfehler von V (n), R(n)
und K(n) in einem doppelt-logarithmischen Diagramm.
Hinweis: Mit dem M ATLAB-Befehl round(logspace(0, 6, 300)) erhält man
eine sinnvolle Auswahl von Punkten aus dem Intervall [1, 106 ].
Die Addition der Zahlen a und b mit Mantissenlänge 4 realisiert der M ATLABBefehl round(a+b, 4, ’significant’) ab Version 2014 B.
Für ältere M ATLAB-Versionen bietet sich die folgende Funktion an:
function z = plus4 ( a , b )
z = a+b ;
if z ˜= 0
m = floor ( log10 ( abs ( z ) ) ) + 1 ;
z = round ( z∗10ˆ(4 −m ) ) ∗ 1 0 ˆ ( m−4);
end
end
(ii) Diskutieren Sie kurz die Approximationsgüte des Algorithmus K(n).
(6 Punkte)
Aufgabe 3:
x1
∈ 2 gegeben. Wir definieren die von diesem Anfangswert iterativ erSei
y1
zeugte Folge
x
x − x3
xn+1
xn
.
=
=f
, n ∈ , mit f
2y − x2 − 2x4 + x6
y
yn+1
yn
√
√
(1) Sei − 2 < x1 < 2 und y1 := x21 .
x1
0
Beweisen Sie, dass die von dem Anfangswert
erzeugte Folge gegen
y1
0
konvergiert.
R
N
(2) Untersuchen Sie, ob das Konvergenzresultat aus Aufgabenteil (1) auch numerisch zu beobachten ist. Illustrieren Sie Ihre Ergebnisse aussagekräftig.
(6 Punkte)