Einführung in Quantitative Methoden

Verteilungsfunktion für Stetige ZV
Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Einführung in Quantitative Methoden
Karin Waldherr & Pantelis Christodoulides
2. Mai 2012
Waldherr / Christodoulides
Einführung in Quantitative Methoden- 7.VO
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Verteilungsfunktion für Stetige ZV
Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Dichtefunktion
I
Eine stetige ZV X kann jeden Wert in einem Intervall [a, b]
annehmen
I
Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ausprägungen (Werte)
einer stetigen ZV können (im Gegensatz zum diskreten Fall)
nicht angegeben werden
I
Es können nur Wahrscheinlichkeiten f (x)dx angegeben
werden, mit welchen die Werte innerhalb von Intervallen dx
um die Werte x auftreten
I
Beispielsweise fragt man nicht, wie viele Personen exakt 1.75
Meter groß sind, sondern z.B., wie viele Personen zwischen
1.75 und 1.76 Meter groß sind
I
Die Funktion f (x) heißt Dichtefunktion
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Verteilungsfunktion für Stetige ZV
Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
I
Die Wahrscheinlichkeit, dass die ZV Werte zwischen a und b
annimmt, wird dann allgemein definiert als das Integral über
die Dichtefunktion mit Integrationsgrenzen a und b.
I
Analog zum diskreten Fall erhält man durch Integration die
Verteilungsfunktion
Z
F (x) = P(X ≤ x) =
f (t)dt
t≤x
I
Die Wahrscheinlichkeit ist definiert als Fläche unter der
Dichtefunktion
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Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
I
Es gilt für alle a < b
Z
P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) =
b
f (x)dx
a
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Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Eigenschaften der Dichtefunktion
I
Es gilt weiters für alle x
Z
f (x) ≥ 0
und
f (x)dx = 1
x
I
P(a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a)
I
f (x) =
I
f (x) gibt an mit welcher Wahrscheinlichkeit Beobachtungen
in der ’Nähe’ von x auftreten
dF (x)
dx
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= F 0 (x)
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Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Eigenschaften der Verteilungsfunktion
I
Monotonie
F (x1 ) ≤ F (x2 )
I
I
für x1 ≤ x2
Normierung im Intervall [0, 1]
F (x) → 0
für ’sehr kleines’ x
F (x) → 1
für ’sehr großes’ x
P(c ≤ X ≤ b) = F (b) − F (c) für c < b
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Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
I
Es seien X und Y ZV; die gemeinsame Verteilungsfunktion
von X und Y ist definiert als
F (x, y ) = P(X ≤ x ∧ Y ≤ y )
I
X und Y heißen stochastisch unabhängig wenn gilt:
F (x, y ) = P(X ≤ x ∧ Y ≤ y ) = P(X ≤ x) P(Y ≤ y )
I
Bei diskreten ZV folgt Unabhängigkeit aus
P(X = x ∧ Y = y ) = P(X = x) P(Y = y )
I
Bei stetigen ZV folgt Unabhängigkeit aus
f (x, y ) = f (x) f (y )
I
Obige Regeln sind verallgemeinbar auf beliebig viele ZV
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Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
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Spezielle Stetige Verteilungen
Beispiel
I
Beim zweimaligen Würfeln bezeichne X die Augenzahl beim
ersten und Y die Augenzahl beim zweiten Wurf
I
Das Ereignis Y = 2 ist unabhängig vom Ereignis X < 2
I
Auch das Ereignis Y = {2, 4, 6} ist unabhängig vom Ereignis
X = {1, 3, 5}
I
X und Y sind stochastisch unabhängig, weil für jede Auswahl
von Ereignissen in beiden ZV Unabhängigkeit vorliegt
I
Die Bedingung Y = y beeinflusst nicht die Verteilung von X
und umgekehrt
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Unabhängigkeit von ZV
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Spezielle Stetige Verteilungen
Erwartungswert
I
Beispiel: X ist die erhaltene Augenzahl bei einmaligem
Würfeln; die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ist
xi 1
f (xi ) 16
I
I
I
2
3
4
5
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Welchen Wert ’erwarten’ wir, wenn wir dieses
Zufallsexperiment sehr lange durchführen?
Intuitiv erwarten wir X = 1 bei 16 der Würfe, X = 2 bei
der Würfe, usw.
Der Durchschnitt von X auf lange Sicht ist der
Erwartungswert von X
1
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1
6
bei
1
1
1
+ 2 + · · · + 6 = 3.5,
6
6
6
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Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Erwartungswert
I
Der Erwartungswert einer ZV ist ein Maß für das Zentrum der
Verteilung
I
Bei einer diskreten ZV X ist der Erwartungswert definiert
E [X ] als der gewichtete Durchschnitt über alle möglichen
Ausprägungen von X ; die Gewichte sind die jeweiligen
Wahrscheinlichkeiten.
X
xf (x)
E [X ] =
x
I
Bei einer stetigen ZV Y analog
Z
E [X ] = xf (x)dx
x
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Unabhängigkeit von ZV
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Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Erwartungswert
I
Folgende Eigenschaft folgt direkt aus der Definition des
Erwartungswerts; für beliebige Konstanten a und b gilt
E [aX + b] = aE [X ] + b
I
Weiters gilt
E [X1 + X2 + · · · + Xn ] = E [X1 ] + · · · + E [Xn ]
I
Für unabhängige ZV X1 · · · Xn gilt
E [X1 · X2 · . . . · Xn ] = E [X1 ] · . . . · E [Xn ]
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Spezielle Stetige Verteilungen
Varianz, Kovarianz, Korrelation
I
Die Varianz σ 2 ist ein Streuungsmaß der Verteilung
σX2 = E (X − E [X ])2 = E X 2 − (E [X ])2
I
Analog zur Stichprobenkovarianz ist die Kovarianz zwischen 2
ZV definiert als
σXY = E [XY ] − E [X ] E [Y ]
I
Die Varianz einer ZV ist die Kovarianz dieser ZV mit sich
selbst!
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Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Varianz, Kovarianz, Korrelation
I
Die Korrelation ρXY ist das Verhältnis zwischen der Kovarianz
und dem Produkt der Standardabweichungen
ρXY =
σXY
σX σY
I
Gleiche Interpretation wie in Stichprobe
I
Sind zwei ZV Variablen unabhängig, dann ist ihre Korrelation
0; Achtung die umgekehrte Folgerung ist nicht immer richtig!
I
Aus Korrelation gleich 0 folgt nicht unbedingt stochastische
Unabhängigkeit
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Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Varianz, Kovarianz, Korrelation
I
Es gilt für beliebige ZV bzw. für Konstanten a und b
2
2 2
σ(aX
+b) = a σX
I
Weiters
2
2
2
σ(X
+Y ) = σX +σY +2σXY
2
2
2
bzw. σ(X
−Y ) = σX +σY −2σXY
I
σ(aX +b)(cY +d) = acσXY
I
Und schließlich
ρ(aX +b)(cY +d) = sgn(ac)ρXY
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Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Varianz
I
Beispiel: X ist die beobachtete Augenzahl bei einmaligem
Würfeln; die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ist
xi 1
f (xi ) 16
2
3
4
5
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
I
2
σ =E X
2
6
2 X
− (E [X ]) und E X =
xi2 p(xi2 )
| {z }
2
3.52
i=1
1
1
E X 2 = 12 + · · · + 62 = 15.17, σ 2 = 2.92, σ = 1.71
6
6
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Spezielle Stetige Verteilungen
Erwartungswert und Varianz
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α-Quantil
I
Als α-Quantil qα wird ein Wert bezeichnet, unterhalb dessen
ein vorgegebener Anteil α aller Fälle der Verteilung liegen
I
Jeder Wert unterhalb von qα unterschreitet den Anteil α, mit
α als reelle Zahl zwischen 0 (gar kein Fall der Verteilung) und
1 (alle Fälle oder 100% der Verteilung)
I
Für stetige ZV gilt
Z
F (qα ) = P(X ≤ qα ) =
f (t)dt = α
t≤qα
I
α-Quantile sind für die wichtigsten stetigen Verteilungen in
Tabellen ausgegeben
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Stetige ZV
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Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
α-Quantil
I
Für diskrete ZV gilt
F (qα ) = P(X ≤ qα ) =
X
P(X = t) ≥ α
t≤qα
F (x) < α für jedes x kleiner als qα
I
Aufrunden auf die nächste größere ganzzahlige Ausprägung,
analog zur Stichprobe
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Diskrete ZV
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Diskrete Gleichverteilung
I
Diese Verteilung beschreibt eine ZV, welche die Zahlen
1, 2, · · · , m annehmen kann, und
I
es gilt
1
für alle x = 1, 2, · · · , m
m
(m + 1)
E [X ] =
2
P(X = x) =
(m2 − 1)
12
Anwendung bei Zufallsexperimenten, deren Ergebnisse gleich
häufig sind, also wenn angenommen wird, dass die m
Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind
σ2 =
I
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Spezielle Stetige Verteilungen
Diskrete Gleichverteilung
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Kenngrößen von ZV
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Spezielle Stetige Verteilungen
Diskrete Gleichverteilung
I
Erwartungswert und Varianz
E [X ]
=
m
X
1
i
m
i=1
=
m
1 X
i =
m
i=1
|{z}
m(m + 1)
2
m+1
2
m
2
1 X 2
1 m(m + 1)(2m + 1)
E X =
i =
m
m
6
i=1
(m + 1)(2m + 1)
m+1 2
(m + 1)(m − 1)
σ =
−
= ··· =
6
2
12
2
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Diskrete Gleichverteilung
I
Beispiel: X = die erhaltene Augenzahl bei einmaligem Würfeln
E [X ] =
σ2 =
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(6 + 1)
= 3.5
2
(62 − 1)
= 2.92
12
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Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Binomialverteilung
I
Wir betrachten ein Zufallsexperiment mit 2 Ausgängen,
’Erfolg (1)’ und ’Misserfolg (0)’
I
Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg sei p, mit p zwischen 0 und
1
I
Wir führen dieses Experiment n-mal durch, wobei zwischen
den einzelnen Durchführungen Unabhängigkeit angenommen
wird (’Ziehen mit Zurücklegen’)
I
Die ZV X beschreibt die Anzahl der Erfolge und ist
binomialverteilt mit Parametern n und p, X v B(n, p)
n k
P(X = k) =
p (1 − p)n−k für k = 0, 1, · · · , n
k
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Spezielle Stetige Verteilungen
Binomialverteilung
I
Beispiel: Ein Glücksrad besteht aus 20 Feldern, wobei 5 davon
Gewinnfelder sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
Sie zwei Mal gewinnen, wenn Sie das Glücksrad drei Mal
drehen?
I
Experiment mit 2 Ausgängen, Erfolg (5 Gewinnfelder) und
Misserfolg
I
n = 3, weil wir das Glücksrad drei Mal drehen
I
p=
5
20
= 0.25 ist die Wahrscheinlichkeit zum Erfolg
3
3!
P(X = 2) =
0.252 (1 − 0.25)1 =
0.0625 · 0.75 = 0.14
2
2!1!
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Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Binomialverteilung
I
Binomialverteilte ZV nimmt Werte zwischen 0 und n an
I
Binomialverteilung ist symmetrisch für p = 0.5
I
Je kleiner/größer p desto rechts/links-schiefer die Verteilung
I
Erwartungswert und Varianz
E [X ] = np
I
σ 2 = np(1 − p)
Für n = 1: B(1, p) ist eine Bernoulli-ZV mit Erwartungswert
p und Varianz p(1 − p)
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Spezielle Stetige Verteilungen
Binomialverteilung
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Kenngrößen von ZV
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Spezielle Stetige Verteilungen
Poisson-Verteilung
I
Diese Verteilung beschreibt ZV, die alle natürliche Zahlen und
0 annehmen können
I
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion
P(X = k) =
λk e −λ
k!
für k = 0, 1, · · · , ∞
I
λ ist der Parameter der Poisson-Verteilung und kann jede
reelle positive Zahl sein
I
Erwartungswert und Varianz
E [X ] = λ
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σ2 = λ
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Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Poisson-Verteilung
I
Poisson-Verteilung ist Grenzverteilung der Binomialverteilung
bei n → ∞ und p → 0 unter der Nebenbedingung, dass
np = λ beschränkt bleibt
I
Poisson-Verteilung kann als gute Approximation für die
Binomialverteilung bei großem n und kleinem p verwendet
werden
I
Poisson-Verteilung beschreibt seltene Ereignisse
I
Anwendung bei binomialverteilter ZV mit unbekanntem oder
großem n (leichtere Berechnung) und kleinem p
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Poisson-Verteilung
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Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Poisson-Verteilung
I
Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient die Injektion
eines Serums nicht verträgt sei 0.001. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass von 200 Patienten mehr als 1 die
Injektion nicht vertragen?
I
Wahrscheinlichkeiten (Poisson-Verteilung)
I
E [X ] = λ = (200)(0.001) = 0.2
P(X = 0) =
0.20 e −0.2
= 0.818731, P(X = 1) = 0.163746
0!
P(X > 1) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) = 0.017523
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Unabhängigkeit von ZV
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Spezielle Stetige Verteilungen
Poisson-Verteilung
I
Wahrscheinlichkeiten (Binomialverteilung B(200, 0.001))
200
P(X = 0) =
(0.001)0 (1 − 0.001)(200−0) = 0.818649
0
P(X = 1) = 0.163894
P(X > 1) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) = 0.017458
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Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Poisson-Verteilung
I
Beispiel: In einer Telefonzentrale kommen in einer Minute
durchschnittlich 3 Gespräche an. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit kommen in einer Minute mehr als 3
Gespräche an?
I
Denkt man sich eine Minute in n gleiche Zeitabschnitte
zerlegt, die so klein sind, dass in jedem Abschnitt höchstens
ein Gespräch ankommen kann, so liegt eine Binomialverteilung
B(n, n3 ) vor
I
n ist unbekannt ⇒ Poissonverteilung mit λ = 3
P(X > 3) = 1−P(X = 0)−P(X = 1)−P(X = 2)−P(X = 3)
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Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Poisson-Verteilung
I
P(X = 0) =
30 e −3
= 0.0498
0!
P(X = 1) =
31 e −3
= 0.1494
1!
P(X = 2) =
32 e −3
= 0.2240
2!
P(X = 3) =
33 e −3
= 0.2240
3!
I
I
I
I
P(X > 3) = 1 − 0.0498 − 0.1494 − 0.2240 − 0.2240 = 0.3528
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Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Geometrische Verteilung
I
Wir führen eine Serie von Versuchen mit zwei möglichen
Ausgängen, ’Erfolg (1)’ und ’Misserfolg (0)’, so lange durch
bis wir den ersten Erfolg haben
I
Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg sei p
I
Unsere ZV X erfasst die Anzahl der Durchführungen bis zum
ersten Erfolg
P(X = k) = p(1 − p)k−1
E [X ] =
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1
p
für k = 1, 2, · · · , ∞
σ2 =
1−p
p2
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Verteilungsfunktion für Stetige ZV
Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Geometrische Verteilung
I
Anwendung bei der Analyse von Wartezeiten bis zum
Eintreffen eines bestimmten Ereignisses
I
Lebensdauerbestimmung von Geräten und Bauteilen, d.h.
dem Warten bis zum ersten Ausfall
I
Rückfälle bei Suchterkrankungen
I
Bestimmung der Anzahl häufiger Ereignisse zwischen
unmittelbar aufeinanderfolgenden seltenen Ereignissen wie
z.B. Fehlern
I
Bestimmung der Zuverlässigkeit von Geräten
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Verteilungsfunktion für Stetige ZV
Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Hypergeometrische Verteilung
I
Aus einer Gesamtheit von N Elementen, wobei A (A ≤ N)
markiert sind, wird zufällig eine Stichprobe von n (n ≤ N)
Elementen ohne Zurücklegen entnommen
I
Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt in der Stichprobe eine
bestimmte Anzahl a von markierten Elementen vor?
A N−A
P(X = a) =
A
E [X ] = n
N
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A
σ =n
N
2
a
n−a
N
n
A
N −n
1−
N
N −1
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Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Hypergeometrische Verteilung
I
Beispiel: Lotto 6 aus 45
N = 45 Kugeln (=Zahlen) insgesamt, A = 6 Kugeln sind
’markiert’ (d.h. am Lottoschein angekreuzt), n = 6 Kugeln
werden gezogen (ohne Zurücklegen). Die einzelnen
Gewinnwahrscheinlichkeiten ergeben sich durch die
Hypergeometrische Verteilung
6 39
20 · 9139
= 0.022
P(X = 3) = 3 453 =
8145060
6
P(X = 6) =
Waldherr / Christodoulides
6
6
39
0
45
6
=
1
= 0.000000123
8145060
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39/49
Verteilungsfunktion für Stetige ZV
Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Wahrscheinlichkeitsfunktion Beispiel Lotto
Waldherr / Christodoulides
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Verteilungsfunktion für Stetige ZV
Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Hypergeometrische und Binomialverteilung
I
A
Hypergeometrische Verteilung kann durch B(n, N
) angenähert
n
werden, wenn N ≤ 0.05
I
Beispiel: In der Population der Personen mit Adipositas, die
sich einer Magenbypass-Operation unterzogen haben, haben
10% einige Jahre nach der Operation (noch) eine
Binge-Eating Störung (BED). In einer spezialisierten Klinik
wurden in den letzten Jahren 1500 Personen operiert. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit in einer Stichprobe von n = 50
Personen maximal eine Person mit BED zu finden?
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Verteilungsfunktion für Stetige ZV
Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Hypergeometrische und Binomialverteilung
I
Binomialverteilung B(50, 0.10)
50
P(X = 0) =
0.100 (1 − 0.10)50 = 0.005154
0
P(X = 1) = 0.028632, ⇒ P(X = 0) + P(X = 1) = 0.033786
I
Hypergeometrische Verteilung, N = 1500, A = 150, n = 50
150 1350
P(X = 0) =
0
50
1500
50
= 0.004697
P(X = 1) = 0.027075 ⇒ P(X = 0) + P(X = 1) = 0.031771
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Verteilungsfunktion für Stetige ZV
Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Normalverteilung (NV)
I
Die NV ist eine stetige Verteilung, die durch 2 Parameter µ
und σ charakterisiert ist
I
Es sei X eine ZV die N(µ, σ 2 ) verteilt ist; X kann Werte
zwischen −∞ und +∞ annehmen
I
Die Dichtefunktion φ(x)
1
φ(x) = √
σ 2π
1
−
e 2
x −µ
σ
2
I
Geht x → ±∞ strebt φ(x) gegen 0
I
φ(x) ist symmetrisch um µ, d.h. µ + a = µ − a (a =
Konstante)
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Verteilungsfunktion für Stetige ZV
Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Normalverteilung (NV)
I
σ gibt den Abstand zwischen µ und den Wendepunkten der
Dichtefunktion an
I
Wendepunkte an den Stellen µ ± σ
I
Wenn σ groß ist, ist die Verteilung breit und niedrig, wenn σ
klein ist, ist die Verteilung schmal und hoch
I
Fläche unter φ(x) zwischen −∞ und +∞ ist gleich 1
I
Die Fläche µ ± σ umfasst ca. 68% aller Fälle
I
Die Fläche µ ± 2σ umfasst ca. 95% aller Fälle
I
Es existieren unendlich viele NV durch beliebige Auswahl von
µ und σ
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Verteilungsfunktion für Stetige ZV
Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Normalverteilung (NV)
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Verteilungsfunktion für Stetige ZV
Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
Spezielle Diskrete Verteilungen
Spezielle Stetige Verteilungen
Standardnormalverteilung N(0, 1)
I
Spezielle NV für µ = 0 und σ = 1 (Gauß’sche Glockenkurve)
I
Verteilung der N(0,1) ist tabelliert; Fläche zwischen µ = 0
und einem beliebigen Wert z ist ablesbar (Tabelle 1c)
I
Quantile der NV; 1-Fläche rechts von einem Wert z, und links
von −z (Tabelle 1b)
I
Beispiele
P(0 ≤ Z ≤ 1) = 0.3413 (Tabelle 1c)
P(−1 ≤ Z ≤ 1) = 0.6826 (Tabelle 1b)
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Unabhängigkeit von ZV
Kenngrößen von ZV
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Standardnormalverteilung N(0, 1)
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Unabhängigkeit von ZV
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Standardnormalverteilung N(0, 1)
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Unabhängigkeit von ZV
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Standardnormalverteilung N(0, 1)
X −µ
σ
I
Ist X N(µ, σ 2 ) verteilt dann führt die Transformation
eine N(0, 1) Verteilung
I
Vorteil, da Quantile ablesbar (Tabelle 1b)
I
Beispiel: X ∼ N(11, 5.53). Wie hoch ist P(X ≥ 14.5)?
z=
auf
14.5 − 11
= 1.49
2.35
P(Z ≥ 1.49) = 0.0681 (Tabelle 1b)
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