Theorie Ungeordneter Systeme Prof. Dr. Igor Sokolov

Theorie Ungeordneter Systeme
Prof. Dr. Igor Sokolov
Übung 6
“Enge” und “Breite” Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Es werden N ≫ 1 unabhängige Messungen einer Observablen W gemacht, so dass die Resultate Wi , i = 1, 2, ..., N einen Satz unabhängiger, gleichverteilter Variablen bilden. Die Wahrscheinlichkeitsdichte der
Verteilung von Wi sei p(W ). Finden Sie die Verteilungsdichte des maximalen Wertes (“Rekordwert”) Wm = maxi=1,...,N Wi aus N Messwerten.
Hinweis: Bestimmen Sie zuerst die Wahrscheinlichkeit P (x), dass keines der N Elemente der Menge der Messwerten grösser ist, als ein
bestimmter Wert x.
• Bestimmen Sie den wahrscheinlichsten Wert von Wm für die folgenden
drei Verteilungen:
1. Gaussverteilung
1
W2
p(W ) = √
exp − 2 ,
2σ
2πσ
2. Cauchy-Verteilung
p(W ) =
Γ
1
,
2
π W + Γ2
3. Smirnov-Verteilung
B
B
.
p(W ) = √
exp −
2 πW 3/2
4W
• Alle drei oben genannten Verteilungen sind stabile Gesetze, d.h. die
Summe von N nach einem solchen Gesetz verteilten unabhängigen Zufallsvariablen ist nach dem gleichen Gesetz verteilt, allerdings mit einem
anderen Parameter (Verteilungsbreite) σ(N), Γ(N) oder B(N). Finden
Sie die entsprechenden Breiten als Funktionen von N.
1
• Vergleichen Sie nun den typischen Wert der Summe aus N Messwerten
(die Breite der Verteilung) und den wahrscheinlichsten Rekordwert.
Welchen Anteil an der Gesamtsumme hat der Rekordwert für diese
drei Verteilungen?
2