Theorie Ungeordneter Systeme Prof. Dr. Igor Sokolov

Theorie Ungeordneter Systeme
Prof. Dr. Igor Sokolov
Übung 3:
Hausaufgaben für die nächsten 3 Wochen
Frank-Lobb Algorithmus.
Betrachten wir zuerst die Dreieck-Stern (∆Y) und Stern-Dreieck (Y∆)
Transformationen:
Wie lautet der Zusammengang zwischen der Leitfähigkeiten G1 , G2 , G3 und
GA , GB , GC , wenn alle drei zwischen der Eckpunkten gemessenen Leitfähigkeiten der beiden Systeme Gleich sind?
Frank-Lobb Algorithmus. Die schnellste Methode der Berechnung der Leitfäfigkeit der Perkolationssysteme in 2 Dimensionen basiert auf dem folgenden
bond propagation Algorithmus. Der basiert nur auf Parallel- und Sequenzielschaltungen und auf ∆Y und Y∆ Transformationen. Hier sind 2 Beispiele:
(Jede Bindung repräsentiert einen Resistor. Wie ändern sich die Leitfähigkeiten bei solcher Transformation?)
• Berechnen Sie als Beispiel die Leitfähigkeit des folgenden Systems zwischen den dicken “supraleitenden” Kontakten:
(die dicker Seitenkontakte sind supraleitend, die Leitfähigkeit aller anderen Verbindungen ist 1).
1
• (*) Falls es Ihnen Spaß macht, scheiben das Programm, dass dieses
Algorithmus implementiert!
Sierpinski-Fraktale
• Das dreidimensionale Analogon vom Sierpinski-Gitter startet von einem Generator in Form eines Thetraheders, das Gitter 2. Generation
ist eine Pyramide aus 4 Generatoren (sodass jede Seite davon als entsprechende zweidimensionale Konstrukt aussieht) u.s.w. Berechnen Sie
die fraktale Dimension solcher Gitter.
• Berechnen Sie die Exponente ζ des dreidimensionalen Sierpinski-Gitter.
• Berechnen Sie die Fraktale Dimension df (d) von der d-dimensionalen
Analogen des Sierpinski Gitter. Falls Sie Schwierigkeiten haben, sich
mehr als dreidimensionalen Raum vorzustellen, leiten Sie die rekurrente
Beziehung zwischen den relevanten Größen bei verschiedenen d ab!
2
“Enge” und “Breite” Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Es werden N ≫ 1 unabhängige Messungen einer Observablen W gemacht, so dass die Resultate Wi , i = 1, 2, ..., N einen Satz unabhängiger, gleichverteilter Variablen bilden. Die Wahrscheinlichkeitsdichte der
Verteilung von Wi sei p(W ). Finden Sie die Verteilungsdichte des maximalen Wertes (“Rekordwert”) Wm = maxi=1,...,N Wi aus N Messwerten.
Hinweis: Bestimmen Sie zuerst die Wahrscheinlichkeit P (x), dass keines der N Elemente der Menge der Messwerten grösser ist, als ein
bestimmter Wert x.
• Bestimmen Sie den wahrscheinlichsten Wert von Wm (f ür N ≫ 1) für
die folgenden drei Verteilungen:
1. Gaussverteilung
W2
1
exp − 2 ,
p(W ) = √
2σ
2πσ
2. Cauchy-Verteilung
p(W ) =
1
Γ
,
2
π W + Γ2
3. Smirnov-Verteilung
B
B
.
p(W ) = √
exp −
4W
2 πW 3/2
• Alle drei oben genannten Verteilungen sind stabile Gesetze, d.h. die
Summe von N nach einem solchen Gesetz verteilten unabhängigen Zufallsvariablen ist nach dem gleichen Gesetz verteilt, allerdings mit einem
anderen Parameter (Verteilungsbreite) σ(N ), Γ(N ) oder B(N ). Finden
Sie die entsprechenden Breiten als Funktionen von N .
• Vergleichen Sie nun den typischen Wert der Summe aus N Messwerten
(die Breite der Verteilung) und den wahrscheinlichsten Rekordwert.
Welchen Anteil an der Gesamtsumme hat der Rekordwert für diese
drei Verteilungen?
3