Stochastik (BA)

Dr. Bernhard Gerlach
Hagen Gilsing
Claudia Hein
WS 2007/08
Übungen zur Vorlesung
Stochastik (BA)
Serie 10
Aufgabe 10.1: (3 Punkte)
Gegeben sei eine iid-Stichprobe von B(1, p) verteilten Zufallsgrössen X1 , .., X20 und
20
P
S20 = Xi .
i=1
a) Konstruieren Sie anhand von S20 zu vorgegebenem α = 0.06 einen α-Test für das
Testproblem
H0 :
p = 21
H1 :
p = 14
durch Angabe des kritischen Beeich K = Kα .
b) Berechnen Sie den Fehler 2.Art für diesen Test.
c) Es wurde S20 = 5 beobachtet. Akzeptieren Sie H0 ? Oder lehnen Sie H0 ab ?
d) Wie verändert sich der in a) gegebene kritische Bereich K = Kα , wenn α = 0.01 bzw.
α = 0.1 gewählt wird.
e) Geben Sie für α = 0.06 einen α-Test für
H0 :
p = 21
H1 :
p < 12
durch Angabe von Kα .
f) Berechnen Sie die Gütefunktion des α-Tests aus e) für p = 0.4, 0.3, 0.25, 0.2.
Geben Sie den entsprechenden Fehler 2.Art an.
P
p0
p1
p2
p3
p4
p5
p6
p7
p8
p9
p10
p11
p12
p13
p14
p15
p16
p17
p18
p19
p20
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
p = 0, 5
0, 000
0, 000
0, 000
0, 001
0, 005
0, 015
0, 037
0, 074
0, 120
0, 160
0, 176
0, 160
0, 120
0, 074
0, 037
0, 015
0, 005
0, 001
0, 000
0, 000
0, 000
p = 0, 4
0, 000
0, 000
0, 003
0, 012
0, 035
0, 075
0, 124
0, 166
0, 180
0, 160
0, 117
0, 071
0, 035
0, 015
0, 005
0, 001
0, 000
0, 000
0, 000
0, 000
0, 000
p = 0, 3
0, 001
0, 007
0, 028
0, 072
0, 130
0, 179
0, 192
0, 164
0, 114
0, 065
0, 031
0, 012
0, 004
0, 001
0, 000
0, 000
0, 000
0, 000
0, 000
0, 000
0, 000
p = 0, 25
0, 003
0, 021
0, 067
0, 134
0, 190
0, 202
0, 169
0, 112
0, 061
0, 027
0, 010
0, 003
0, 001
0, 000
0, 000
0, 000
0, 000
0, 000
0, 000
0, 000
0, 000
p = 0, 2
0, 012
0, 058
0, 137
0, 205
0, 218
0, 175
0, 109
0, 055
0, 022
0, 007
0, 002
0, 000
0, 000
0, 000
0, 000
0, 000
0, 000
0, 000
0, 000
0, 000
0, 000
Aufgabe 10.2: (3 Punkte)
Es sei X = (X1 , X2 ) eine Zufallsvariable, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung in der
folgenden Tablelle gegeben ist:
P
X1 = −1
X1 = 0
X1 = 1
a)
b)
c)
d)
X2 = −1
0.15
0.05
0.2
X2 = 0
0.1
0.15
0.05
X2 = 2
0.05
0.05
0.2
Bestimmen Sie den Wertebereich W(X).
Berechnen Sie die Randverteilungen von X, d.h. die Verteilungen von X1 und X2 .
Sind X1 und X2 unabhängig ?
Berechnen Sie E[ X1 ], E[ X2 ], V ar[ X1 ], V ar[ X2 ], Cov[ X1 , X2 ], Corr[ X1 , X2 ].
e) Bestimmen Sie die Regressionsgeraden Ŷ = a + b X für X = X1 , Y = X2 .
Aufgabe 10.3: (2 Punkte)
Es seien X1 und X2 zwei voneinander unabhängige Zufallsvariablen, die jeweils Poissonverteilt mit den Parametern λ1 > 0 bzw. λ2 > 0 sind.
Berechnen Sie mit Hilfe der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit die Verteilung der
Zufallsvariable Y = X1 + X2 .
Bemerkung: Die Verteilung einer Summen von unabhängigen Zufallsgrössen bezeichnet
man als Faltung (der einzelnen Verteilungen).
Aufgabe 10.4: (1+1+2+1 Punkte)
Es sei p ∈ [0, 1]. Ferner sei { Xi }i=1,2,.. eine Folge von unabhängigen, identisch gemäss
P[ Xi = 1 ]P
= p, P[ Xi = −1 ] = q = 1 − p verteilten Zufallsgrössen. Seien ferner S0 = 0
und Sn = ni=1 für n = 1, 2, 3, ...
a) Bestimmen Sie die Wertebereiche für Sn , n = 1, 2, 3, .. .
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Sn , n = 1, 2, 3, .. .
c) Berechnen Sie E[ Sn ], E[ Sn2 ], V ar[ Sn ], n = 1, 2, 3, .. .
d) Berechnen Sie die E[ S9 ], V ar[ S9 ], E[ S10 ], V ar[ S10 ] für p = 0.5.
Hinweis: Sie können Ergebnisse über die Binomialverteilung nutzen.