Anwesenheitsübung A6

Grundlagen der Quantenmechanik und Statsitik
SoSe 17
Vorlesung: Dr. Björn Eichmann
Übungen: Dr. Fabian Bos
Anwesenheitsübung A6
Datum: 11.07.2017
Aufgabe A6.1: Die Binomialverteilung
Die Binomialverteilung beschreibt multiple Ausführungen von Versuchen, die diskret zwei Ergebnisse
liefern können. Die Wahrscheinlichkeit bei n Ereignisssen k Treffer nachzuweisen ist
P (k) =
n!
pk (1 − p)n−k ,
k!(n − k)!
(1)
mit der Effizienz p. Es lässt sich zeigen, dass der Mittelwert der Binomialverteilung ist
hki =
n
X
k · P (k) = n · p.
(2)
k=0
Betrachten Sie als Beispiel die Detektion eines Myons. Eine Nachweiskammer bestehe aus n = 10 hintereinander aufgebauten Geigerzählern. Ein Myon gilt als nachgewiesen, wenn es k dieser n Kammern
angesprochen haben.
(a) Wie hoch ist die Effizienz, wenn k = 8 Kammern angesprochen werden? Berechnen sie auch die
Wahrscheinlichkeit.
(b) * Leiten Sie die Gleichung (2) her.
Aufgabe A6.2: Die Normal- oder Gauß-Verteilung
Mit der Normal-Verteilung (auch Gauß-Verteilung genannt) werden sowohl zufällige Messfehler, als
auch Fertigungsfehler beschrieben. Nach dem zentralen Grenzwertsatz wird eine Überlagerung einer
großen Anzahl von kleinen Fehlern ebenfalls durch eine Normal-Verteilung beschrieben. Die Wahrscheinlichkeitsdichte hat die Form
1
(x − µ)2
f (x) = √ exp −
,
2σ 2
σ 2π
(3)
mit p
dem Erwartungswert µ und der Varianz σ 2 = V (X) = E((X − µ)2 ) [Standardabweigung ist
σ = V (X)]. Im Folgenden sollen die Eigenschaften der Normal-Verteilung untersucht werden.
(a) Bestimmen Sie das Maximum und die Wendepunkte der Wahrscheinlichkeitsdichte.
(b) Die Kenngröße FWHM (Full Width at Half Maximum) hat eine große praktische Bedeutung zum
Beispiel in der Optik und bei Antennen. Berechnen Sie die FWHM für die Normal-Verteilung in
Abhängigkeit von σ.