Inhaltsverzeichnis - Lehrstab Statistik
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8 Messbarkeit und Bildwahrscheinlichkeit
Inhaltsverzeichnis
(Ausschnitt)
8
Messbarkeit und Bildwahrscheinlichkeit
Messbare Abbildungen
Bildwahrscheinlichkeit
Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2016)
Folie 185
8 Messbarkeit und Bildwahrscheinlichkeit
Messbare Abbildungen 8.1
Messbare Abbildungen I
Häufig von Interesse:
Nicht der Ausgang eines Zufallsexperiments selbst, sondern eine Funktion
dieses Ausgangs, d.h. eine Abbildung X : Ω → Ω0 vom Ergebnisraum Ω in
eine andere Menge Ω0 .
Beispiele:
I
I
I
I
Augensumme beim gleichzeitigen Werfen von zwei Würfeln
Anzahl Wappen“ bei mehrmaligem Münzwurf
”
Resultierender Gewinn zu gegebener Tippreihe beim Lottospiel
Anzahl der weißen Kugeln bei wiederholter Ziehung von Kugeln aus Urne mit
schwarzen und weißen Kugeln (mit oder ohne Zurücklegen)
Wahrscheinlichkeitsbegriff des ursprünglichen Zufallsexperiments (Ω, F, P)
soll in die Wertemenge/Bildmenge Ω0 der Abbildung X transportiert“
”
werden.
Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2016)
Folie 186
8 Messbarkeit und Bildwahrscheinlichkeit
Messbare Abbildungen 8.1
Messbare Abbildungen II
Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A0 ⊆ Ω0 wie folgt:
I
I
Feststellen, welche Elemente ω ∈ Ω unter der Abbildung X auf Elemente
ω 0 ∈ A0 abgebildet werden.
Wahrscheinlichkeit von A0 ergibt sich dann als Wahrscheinlichkeit der
erhaltenen Teilmenge {ω ∈ Ω | X (ω) ∈ A0 } von Ω, also als
P({ω ∈ Ω | X (ω) ∈ A0 }).
Definition 8.1 (Urbild)
Es seien X : Ω → Ω0 eine Abbildung, A0 ⊆ Ω0 . Dann heißt
X −1 (A0 ) := {ω ∈ Ω | X (ω) ∈ A0 }
das Urbild von A0 bzgl. X .
Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2016)
Folie 187
8 Messbarkeit und Bildwahrscheinlichkeit
Messbare Abbildungen 8.1
Messbare Abbildungen III
Zur Funktionsfähigkeit des Wahrscheinlichkeitstransports“ nötig:
”
Geeignetes Mengensystem ( σ-Algebra) F 0 über Ω0 , welches kompatibel“
”
zur σ-Algebra F über Ω und zur Abbildung X ist.
Kompatibilitätsanforderung“ ergibt sich nach Konstruktion:
”
Damit P({ω ∈ Ω | X (ω) ∈ A0 }) = P(X −1 (A0 )) für A0 ∈ F 0 definiert ist, muss
X −1 (A0 ) ∈ F gelten für alle A0 ∈ F 0 .
Beschriebene Eigenschaft der Kombination F, F 0 und X heißt Messbarkeit:
Definition 8.2 (Messbarkeit, messbare Abbildung)
Es seien (Ω, F) und (Ω0 , F 0 ) zwei Messräume. Eine Abbildung X : Ω → Ω0 heißt
F − F 0 −messbar, wenn gilt:
X −1 (A0 ) ∈ F für alle A0 ∈ F 0 .
Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2016)
Folie 188
8 Messbarkeit und Bildwahrscheinlichkeit
Bildwahrscheinlichkeit 8.2
Bildwahrscheinlichkeit
Definition 8.3 (Bildwahrscheinlichkeit)
Es seien (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, (Ω0 , F 0 ) ein Messraum, X eine
F − F 0 −messbare Abbildung. Dann heißt das durch
PX : F 0 → R; PX (A0 ) := P(X −1 (A0 ))
definierte Wahrscheinlichkeitsmaß PX Bildwahrscheinlichkeit von P bezüglich X .
(Ω0 , F 0 , PX ) ist damit ebenfalls ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Gilt F = P(Ω), so ist offensichtlich jede Abbildung X : Ω → Ω0
F − F 0 −messbar für beliebige σ-Algebren F 0 über Ω0 .
Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2016)
Folie 189
8 Messbarkeit und Bildwahrscheinlichkeit
Bildwahrscheinlichkeit 8.2
Einbettung der deskriptiven Statistik in die
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ist Ω die (endliche) Menge von Merkmalsträgern einer deskriptiven
statistischen Untersuchung, F = P(Ω) und P die Laplace-Wahrscheinlichkeit
P : P(Ω) → R; B 7→
#B
,
#Ω
so kann jedes Merkmal X mit Merkmalsraum A = {a1 , . . . , am } als
P(Ω) − P(A)−messbare Abbildung X : Ω → A verstanden werden.
(A, P(A), PX ) ist dann ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum mit
Wahrscheinlichkeitsfunktion p(aj ) = r (aj ) bzw. — äquivalent —
PX ({aj }) = r (aj ) für j ∈ {1, . . . , m}.
Durch (A, P(A), PX ) wird damit die Erhebung des Merkmalswerts eines rein
zufällig (gleichwahrscheinlich) ausgewählten Merkmalsträgers modelliert.
Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2016)
Folie 190
9 Eindimensionale Zufallsvariablen
Inhaltsverzeichnis
(Ausschnitt)
9
Eindimensionale Zufallsvariablen
Borelsche sigma-Algebra
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Verteilungsfunktionen
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
(Lineare) Abbildungen von Zufallsvariablen
Momente von Zufallsvariablen
Quantile von Zufallsvariablen
Spezielle diskrete Verteilungen
Spezielle stetige Verteilungen
Verwendung spezieller Verteilungen
Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2016)
Folie 191
9 Eindimensionale Zufallsvariablen
Borelsche σ-Algebra 9.1
Borelsche σ-Algebra I
Häufiger Wertebereich von Abbildungen aus Wahrscheinlichkeitsräumen: R
P(R) als σ-Algebra (aus technischen Gründen) aber ungeeignet!
Alternative σ-Algebra über R: Borelsche“ σ-Algebra B
”
B ist die kleinste σ-Algebra über R, die alle Intervalle
(a, b)
(a, b]
[a, b)
[a, b]
(−∞, a)
(−∞, a]
(a, ∞)
[a, ∞)
für a, b ∈ R (mit a < b) enthält.
Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2016)
Folie 192
9 Eindimensionale Zufallsvariablen
Borelsche σ-Algebra 9.1
Borelsche σ-Algebra II
Aufgrund der Eigenschaften von σ-Algebren sind auch alle
I
I
I
Einpunktmengen {x} für x ∈ R,
endliche Mengen {x1 , . . . , xm } ⊆ R,
abzählbar unendliche Mengen sowie endliche und abzählbare Schnitte und
Vereinigungen von Intervallen
in B enthalten.
Abbildungen X : Ω → R aus einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) heißen
(eindimensionale) Zufallsvariablen, wenn sie F − B−messbar sind:
Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2016)
Folie 193
9 Eindimensionale Zufallsvariablen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen 9.2
Eindimensionale Zufallsvariablen und deren Verteilung I
Definition 9.1 (Zufallsvariable, Verteilung, Realisation)
Seien (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X : Ω → R eine F − B−messbare
Abbildung. Dann heißen X (eindimensionale) Zufallsvariable über (Ω, F, P)
und die gemäß Definition 8.3 gebildete Bildwahrscheinlichkeit
PX : B → R; B 7→ P(X −1 (B))
Wahrscheinlichkeitsverteilung oder kürzer Verteilung von X . (R, B, PX ) ist
damit ebenfalls ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Liegt nach Durchführung des Zufallsexperiments (Ω, F, P) das Ergebnis ω ∈ Ω
vor, so heißt der zugehörige Wert x = X (ω) die Realisierung oder Realisation
von X .
Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2016)
Folie 194
9 Eindimensionale Zufallsvariablen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen 9.2
Eindimensionale Zufallsvariablen und deren Verteilung II
PX (B) gibt nach Definition 8.3 für B ∈ B die Wahrscheinlichkeit an, als
Ausgang des zugrundeliegenden Zufallsexperiments ein ω ∈ Ω zu erhalten,
das zu einer Realisation X (ω) ∈ B führt.
Demzufolge sind folgende Kurzschreibweisen geläufig:
I
I
I
P{X ∈ B} := P({X ∈ B}) := PX (B) für alle B ∈ B,
P{X = x} := P({X = x}) := PX ({x}) für alle x ∈ R,
P{X < x} := P({X < x}) := PX ((−∞, x)) für alle x ∈ R,
analog für P{X ≤ x}, P{X > x} und P{X ≥ x}.
In vielen Anwendungen interessiert man sich nur noch für die
Bildwahrscheinlichkeit PX der Zufallsvariablen X bzw. den (resultierenden)
Wahrscheinlichkeitsraum (R, B, PX ). Häufig wird X dann nur noch durch die
Angabe von PX festgelegt und auf die Definition des zugrundeliegenden
Wahrscheinlichkeitsraums (Ω, F, P) verzichtet.
Verteilungen PX von Zufallsvariablen als Abbildungen von B nach R
allerdings schlecht handhabbar.
Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2016)
Folie 195
9 Eindimensionale Zufallsvariablen
Verteilungsfunktionen 9.3
Verteilungsfunktionen
Man kann zeigen, dass Wahrscheinlichkeitsmaße PX auf B bereits (z.B.)
durch die Angabe aller Wahrscheinlichkeiten der Form
PX ((−∞, x]) = P({X ≤ x}) für x ∈ R eindeutig bestimmt sind!
Daher überwiegend Identifikation“ der Verteilung PX mit Hilfe einer
”
Abbildung R → R mit x 7→ PX ((−∞, x]) für x ∈ R:
Definition 9.2 (Verteilungsfunktion)
Es seien X eine Zufallsvariable über dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) und
PX die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X . Dann heißt die Abbildung
FX : R → R; FX (x) := PX ((−∞, x]) = P({X ≤ x})
Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X .
Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2016)
Folie 196
9 Eindimensionale Zufallsvariablen
Verteilungsfunktionen 9.3
Eigenschaften von Verteilungsfunktionen I
Die Verteilungsfunktion FX einer (eindimensionalen) Zufallsvariablen X hat
folgende Eigenschaften:
1
FX ist monoton wachsend, d.h. für x, y ∈ R gilt:
x <y
2
⇒
FX (x) ≤ FX (y )
FX ist rechtsseitig stetig, d.h. für alle x ∈ R gilt:
lim FX (x + h) = FX (x)
h→0
h>0
3
lim FX (x) =: FX (∞) = 1
x→∞
4
lim FX (x) =: FX (−∞) = 0
x→−∞
Als abkürzende Schreibweise für die linksseitigen Grenzwerte verwendet man
FX (x − 0) := lim FX (x − h)
h→0
h>0
Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2016)
für alle x ∈ R.
Folie 197
9 Eindimensionale Zufallsvariablen
Verteilungsfunktionen 9.3
Eigenschaften von Verteilungsfunktionen II
Analog zur empirischen Verteilungsfunktion (deskriptive Statistik, Folie 46)
können Intervallwahrscheinlichkeiten leicht mit der Verteilungsfunktion FX
einer Zufallsvariablen X berechnet werden.
Für a, b ∈ R mit a < b gilt:
I
PX ((−∞, b]) = P({X ≤ b}) = FX (b)
I
PX ((−∞, b)) = P({X < b}) = FX (b − 0)
I
PX ([a, ∞)) = P({X ≥ a}) = 1 − FX (a − 0)
I
PX ((a, ∞)) = P({X > a}) = 1 − FX (a)
I
PX ([a, b]) = P({a ≤ X ≤ b}) = FX (b) − FX (a − 0)
I
PX ((a, b]) = P({a < X ≤ b}) = FX (b) − FX (a)
I
PX ([a, b)) = P({a ≤ X < b}) = FX (b − 0) − FX (a − 0)
I
PX ((a, b)) = P({a < X < b}) = FX (b − 0) − FX (a)
Insbesondere gilt für x ∈ R auch:
PX ({x}) = P({X = x}) = FX (x) − FX (x − 0)
Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2016)
Folie 198
9 Eindimensionale Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen 9.4
Diskrete Zufallsvariablen
Einfacher, aber geläufiger Spezialfall für Zufallsvariable X über
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P): Wertebereich
X (Ω) := {x ∈ R | x = X (ω) für (mindestens) ein ω ∈ Ω}
ist endlich oder abzählbar unendlich (bzw. etwas allgemeiner: es gibt eine
endliche oder abzählbar unendliche Menge B mit P({X ∈ B}) = 1).
Analog zu Definition 6.3 heißen solche Zufallsvariablen diskret“.
”
Definition 9.3 (Diskrete ZV, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Träger)
Seien (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X eine Zufallsvariable über
(Ω, F, P) und B ⊆ R endlich oder abzählbar unendlich mit P({X ∈ B}) = 1.
Dann nennt man
I
X eine diskrete Zufallsvariable,
I
pX : R → [0, 1]; pX (x) := PX ({x}) die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X ,
I
T (X ) := {x ∈ R | pX (x) > 0} den Träger von X sowie alle Elemente x ∈ T (X )
Trägerpunkte von X und deren zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktionswerte
pX (x) Punktwahrscheinlichkeiten.
Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2016)
Folie 199
9 Eindimensionale Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen 9.4
Beispiel
Anzahl Wappen“ bei dreimaligem Münzwurf
”
Zufallsexperiment: Dreimaliger Münzwurf mit fairer Münze
( Wappen“ oder Zahl“)
”
”
I
I
I
Ω = {WWW , WWZ , WZW , WZZ , ZWW , ZWZ , ZZW , ZZZ }
F = P(Ω)
|A|
P : F → R; P(A) =
|Ω|
Zufallsvariable X : Ω → R: Anzahl der auftretenden Wappen, also
X (WWW ) = 3,
X (WWZ ) = 2,
X (WZW ) = 2,
X (WZZ ) = 1,
X (ZWW ) = 2,
X (ZWZ ) = 1,
X (ZZW ) = 1,
X (ZZZ ) = 0.
Für X (Ω) = {0, 1, 2, 3} gilt offensichtlich P(X (Ω)) = 1, also X diskret.
Konkreter ist T (X ) = {0, 1, 2, 3} und die Punktwahrscheinlichkeiten sind
pX (0) =
1
,
8
pX (1) =
Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2016)
3
,
8
pX (2) =
3
,
8
pX (3) =
1
.
8
Folie 200
