Geometrie verlernt man nie

Inhalt
Beginnen wir mit ein paar Zahlen … (Aufgaben 1 – 5)
6
Geometrie verlernt man nie … (Aufgaben 6 – 10)
8
Alles total logisch … (Aufgaben 11 – 15)
10
Etwas Bewegung … (Aufgaben 16 – 20)
12
Wahrscheinlich kein Problem … (Aufgaben 21 – 25)
14
Exponenten an allen Enden … (Aufgaben 26 – 30)
16
Merkwürdiges rund um Zahlen … (Aufgaben 31 – 35)
18
Zeit zum Nachdenken … (Aufgaben 36 – 40)
20
Wenn Form und Inhalt übereinstimmen … (Aufgaben 41 – 45)
22
Gleichungen der besonderen Art … (Aufgaben 46 – 50)
24
Eine Partie Trigonometrie … (Aufgaben 51 – 55)
26
Möglichst viel Ertrag bei möglichst wenig Aufwand … (Aufgaben 56 – 60) 28
Um die Ecke gedacht … (Aufgaben 61 – 65)30
Kombinieren hilft wahrscheinlich … (Aufgaben 66 – 70)32
Geld regiert die Welt … (Aufgaben 71 – 75)34
Zwei Schritte vor und einen zurück … (Aufgaben 76 – 80)36
Von der Anschauung zur Lösung … (Aufgaben 81 – 85)38
Manche Zahlen haben es in sich … (Aufgaben 86 – 90)
40
Alles fügt sich ganz logisch zusammen … (Aufgaben 91 – 95)
42
Ziffern, Zahlen und Merkwürdiges … (Aufgaben 96 – 100)
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Lösungen
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Beginnen wir mit ein paar Zahlen …
Aufgabe 1
Vater Norbert mit Sohn und Vater Peter mit Sohn gingen zusammen zum Angeln.
Die Anzahl der Fische, die Norbert geangelt hatte, endete mit der Ziffer 2, die
seines Sohns mit der Ziffer 3.
Die Anzahl der Fische, die Peter geangelt hatte, endete mit der Ziffer 3, die seines Sohns mit der Ziffer 4.
Die Summe der Anzahlen aller gemeinsam geangelten Fische war eine Quadratzahl.
Wie heißt der Sohn von Norbert?
Aufgabe 2
Für jede natürliche Zahl n Þ 9 ist der Term
n + 11
t = ​ }}}
​ n – 9
definiert.
Bestimmen Sie alle Werte von n, für die t ebenfalls eine natürliche Zahl ist.
Aufgabe 3
Gegeben ist die Gleichung
42 + 242 = 162.
In welchem Zahlensystem stellt diese Gleichung eine wahre Aussage dar?
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Aufgabe 4
Wir betrachten alle Zahlen der Form 2p + 1, wobei p eine Primzahl ist.
Primzahlen:
Kubikzahlen:
2; 3; 5;
1; 8; 27;
7; 11, 13;
64; 125; 216;
…
…
Wie heißt die einzige Kubikzahl dieser Form?
Aufgabe 5
Gegeben ist das Gleichungssystem
x4 + y4 = 97
x+y=1
mit den reellen Zahlen x und y.
Bestimmen Sie alle Lösungen dieses Systems.
7
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Geometrie verlernt man nie …
Aufgabe 6
Einem gleichseitigen Dreieck ABC ist ein anderes gleichseitiges Dreieck PQR so
einbeschrieben, dass Q auf AB, R auf BC und P auf CA liegt. Weiter steht jeweils
eine Seite von PQR senkrecht auf einer Seite von ABC.
Welchen Bruchteil der Fläche von ABC nimmt jedes der entstehenden rechtwinkligen Teildreiecke ein?
Aufgabe 7
Gegeben ist ein gerader Kreiszylinder mit dem Grundkreisradius r, dessen Höhe h
n-mal so groß wie sein Durchmesser ist. Dabei sei n eine positive natürliche
Zahl.
Ferner ist ein gerader Kreiskegel gegeben, dessen Grundkreisradius und Höhe
ebenso groß sind wie die des Zylinders.
h
2r
2r
In dem Zylinder liegen n Kugeln vom Radius r so übereinander, dass ihre Gesamthöhe gleich der Höhe des Zylinders ist. Der freie Raum des Zylinders ist mit
Wasser ausgefüllt.
Ist das Volumen der Wassermenge kleiner, größer oder ebenso groß wie das
Volumen des Kegels?
B
B
M1
C
D
M3
E
M4
C
r
M2
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A
z
y E
M3
x
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h
2r
2r
Aufgabe 8
Gegeben ist eine Strecke AB mit der Länge a und dem Mittelpunkt E. Die Kreise
um A bzw. um B mit dem Radius a schneiden einander in den Punkten C und D.
Die Kreise mit den Durchmessern AE und BE haben die Mittelpunkte M1 bzw.
M2. Zwei weitere Kreise mit den Mittelpunkten M3 und M4 berühren diese beiden Kreise von außen sowie die Kreise um A und B von innen.
B
B
M1
M1
C
D
M3
E
r
C
M4
z
y E
M3
M2
x
A
A
Geben Sie den Flächeninhalt des gefärbten Gebiets in Abhängigkeit von a an.
Aufgabe 9
Gegeben ist eine vierseitige Pyramide mit quadratischer Grundfläche ABCD und
der Spitze S. Alle acht Kanten haben die gleiche Länge a.
Mit E und F sind die Mittelpunkte der Kanten SB bzw. SC bezeichnet. Die Ebene
durch die Punkte A, E, F und D zerlegt die Pyramide in zwei Teilkörper.
Berechnen Sie das Verhältnis der Volumina dieser beiden Teilkörper.
F
Aufgabe 10
A
C
Dem gleich­seitigen Dreieck ABC mit der Seitenlänge a ist sein Inkreis einbeschrieben. In die drei Restflächen des Dreiecks werden Kreise soMgelegt, dass sie
D
E
jeweils die beiden Dreiecksseiten und den Inkreis berühren.
Danach werden
zu
den Eckpunkten A, B, C hin wieder drei Kreise gelegt, die jeweilsB zwei Dreiecksseiten und einen der letztgenannten Kreise berühren.
Diese Operation lässt sich unendlich oft fortsetzen.
Welche Summe in Abhängigkeit von a haben die Flächeninhalte aller so erzeug­
ten Kreise?
C
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M2
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Alles total logisch …
Aufgabe 11
Das Kind und das Schaf wiegen zusammen soviel wie 5 Säcke.
Das Schaf und 2 Katzen wiegen zusammen soviel wie 3 Säcke.
Das Schaf wiegt soviel wie 4 Katzen.
Wie viele Katzen müssen auf der rechten Seite der Wippe sitzen, damit diese im
Gleichgewicht ist?
Aufgabe 12
Die drei Lehrer Forster, Wagner und Berger unterrichten gemeinsam an einer
Schule. Sie erteilen die Fächer Englisch, Mathematik, Französisch, Geschichte,
Deutsch und Chemie.
Es ist bekannt, dass jeder dieser Lehrer genau zwei dieser Fächer unterrichtet
und dass jedes dieser Fächer von genau einem dieser drei Lehrer erteilt wird.
Sowohl der Lehrer für Chemie als auch der Lehrer für Deutsch sind älter als Herr
Forster.
Während ihrer Freizeit gehen der Mathematiklehrer und der Geschichtslehrer
zusammen mit Herrn Forster zum Baden. Immer bleibt Herr Berger länger als
der Chemielehrer und der Mathematiklehrer im Wasser.
Welche Fächer unterrichten die Lehrer Berger, Forster und Wagner?
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Aufgabe 13
Die Göttinnen Hera, Aphrodite und Athene fragten den klugen Paris, wer von
ihnen die Schönste sei. Sie selbst machten zuvor folgende fünf Aussagen:
Aphrodite: „Ich bin die Schönste.“
(1)
Athene: „Aphrodite ist nicht die Schönste.“
(2)
Hera:
„Ich bin die Schönste.“
(3)
Aphrodite: „Hera ist nicht die Schönste.“
(4)
Athene: „Ich bin die Schönste.“
(5)
Paris, der am Wegesrand ausruhte, hielt es nicht der Mühe wert, das Tuch, das
seine Augen vor den Sonnenstrahlen schützte, zu entfernen. Er sollte aber genau eine der drei Göttinnen als die Schönste feststellen. Dabei setzte er voraus,
dass alle Aussagen der Schönsten wahr, alle Aussagen der beiden anderen Göttinnen jedoch falsch sind.
Konnte Paris unter diesen Voraussetzungen die schönste Göttin ermitteln?
Aufgabe 14
An einem Tischtennisturnier nahmen sieben Geschwisterpaare teil. Die Jungen
hießen Alfred, Bernd, Curt, Dieter, Erwin, Franz und Gerhard. Die Mädchen
hießen Helga, Ingrid, Karola, Lena, Monika, Nora und Olga.
Während des Turniers spielte (1) Alfred gegen Ingrid und Lena, (2) Franz gegen
Monika und Lena, (3) Gerhard gegen Ingrid und Nora, (4) Curt gegen Ingrid,
(5) Dieter gegen Lena und (6) Erwin gegen Nora.
In einem Doppel spielten zunächst (7) Curt und Alfred gegen Nora und Olga.
Curt und Alfred wurden später von (8) Dieter und Franz abgelöst. Noch später
wurden Nora und Olga von (9) Helga und Ingrid abgelöst.
Als alle Beteiligten später zusammen saßen, stellten sie zu ihrer Überraschung
fest, dass kein Junge gegen seine Schwester und kein Mädchen gegen ihren
Bruder gespielt hatte.
Welche der am Turnier beteiligten Jungen und Mädchen sind Geschwister?
Aufgabe 15
Fünf Personen A, B, C, D, E tragen je eine schwarze oder eine weiße Mütze,
ohne dass sie wissen, welche Farbe die Mütze auf ihrem Kopf hat. Allerdings
sagt eine Person mit einer schwarzen Mütze immer die Wahrheit und eine Person mit einer weißen Mütze immer die Unwahrheit. Sie treffen die folgenden
Aussagen:
A: Ich sehe drei schwarze Mützen und eine weiße Mütze.
B: Ich sehe vier weiße Mützen.
C:Ich sehe eine schwarze Mütze und drei weiße Mützen.
D:Ich sehe vier schwarze Mützen.
Welche Farbe haben die Mützen der fünf Personen?
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Etwas Bewegung …
Aufgabe 16
Zwei Fußgänger A und B legten dieselbe Strecke zurück. Sie starteten zur gleichen Zeit. Ein Beobachter stellte fest:
A ging die Hälfte der Strecke mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 4 km/h,
den Rest mit 5 km/h.
B ging während der Hälfte der von ihm für die ganze Strecke benötigten Zeit
mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 4 km/h, während der übrigen Zeit
mit 5 km/h.
Welcher der beiden Fußgänger erreichte zuerst das Ziel?
Aufgabe 17
Von sechs Orten A, B, C, D, E und F ist über ihre Entfernungen voneinander (in
km) folgendes bekannt:
}}
}
}
}
}
}
}
​ = 30, AE​
AB​
​ = 63, AF​
​ = 50, BF​
​ = 40, CD​
​ = 49, CE​
​ = 200, DF​
​ = 38.
Welche Entfernung haben B und D voneinander?
Aufgabe 18
Zwei Körper bewegen sich auf einem Kreis in ein und derselben Richtung mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Jeweils nach 56 Minuten überholt der schnellere den langsameren Körper. Bewegen sich die Körper mit den gleichen Geschwindigkeiten aufeinander zu, so begegnen sie sich nach jeweils 8 Minuten.
Weiterhin ist bekannt, dass sich bei der Bewegung auf dem Kreis in entgegen
gesetzter Richtung die Entfernung beim Annähern in 24 Sekunden von 40 m
auf 26 m verringert.
a) Wie viel Meter legt jeder Körper in der Minute zurück?
b) Wie groß ist der Kreisumfang?
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Aufgabe 19
Ein Junge läuft nachts unter einer Laterne hindurch, die 8 m über dem Boden
hängt. Der Junge ist 1,60 m groß und seine Geschwindigkeit beträgt 1,2 m/s.
Mit welcher Geschwindigkeit wächst der Schatten des Jungen?
Aufgabe 20
„Kommen Sie morgen bei mir vorbei?“ fragte eine alte Dame eine junge Bekannte. Diese antwortete: „Ich danke Ihnen für Ihre Einladung. Ich gehe um
15.00 Uhr los. Gehen Sie doch zur gleichen Zeit los, sodass wir uns auf halbem
Weg zu einem gemeinsamen Spaziergang treffen können.“ Darauf wandte die
alte Dame ein: „Sie vergessen, dass ich älter bin als Sie. Ich bringe es in der
Stunde höchstens auf 3 km, aber Sie legen selbst bei langsamstem Schritt 4 km
in der Stunde zurück. Es wäre besser, wenn Sie mir eine kleine Vergünstigung
einräumen würden.“ „Das lässt sich einrichten“, entgegnete die andere. „Da
ich 1 km in der Stunde mehr gehe als Sie, übernehme ich zusätzlich einen Kilometer und gehe eine Viertelstunde früher los.“
Die alte Dame war einverstanden und ging um 15.00 Uhr mit einer Geschwindig­
keit von 3 km/h der jungen Frau entgegen, die sich um 14.45 Uhr mit 4 km/h
auf den Weg machte. Sie trafen sich und gingen gemeinsam zur Wohnung der
alten Dame zurück.
Als die junge Frau wieder zu Hause war, überlegte sie sich noch einmal die Geschichte mit der Zeitvorgabe und stellte fest, dass sie schließlich nicht doppelt,
sondern sogar viermal so weit wie die alte Dame gegangen war.
Wie weit ist es vom Haus der alten Dame zum Haus ihrer Bekannten?
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Wahrscheinlich kein Problem …
Aufgabe 21
In einem Kindergarten gibt es 8 Gruppen. In jeder Gruppe sind gleich viele Kinder. Es gibt eine Gruppe für die Zweijährigen, zwei für die Dreijährigen, zwei für
die Vierjährigen, zwei für die Fünfjährigen und schließlich eine Gruppe für die
Sechsjährigen.
Während der Pause spielen 4 Gruppen im Hof.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das jüngste der spielenden Kinder
3 Jahre alt ist?
Aufgabe 22
Zu Dekorationszwecken sollen gleich große Konservendosen verschiedener Sorten in mehreren Reihen so übereinander aufgebaut werden, dass folgende sechs
Bedingungen erfüllt sind:
1. Jede Reihe soll genau eine Büchse weniger enthalten als die Reihe unmittelbar unter ihr.
2. Die oberste Reihe enthält genau eine Büchse.
3. Es werden genau drei verschiedene Sorten Büchsen verwendet.
4. Von jeder der drei Sorten findet genau dieselbe Anzahl Büchsen Verwendung.
5. Jede Reihe besteht aus Büchsen von genau einer Sorte.
6. Keine zwei unmittelbar übereinander stehenden Reihen enthalten Büchsen
derselben Sorte.
Welches ist die kleinste Anzahl von Büchsen, die alle Bedingungen gleichzeitig
erfüllt?
Aufgabe 23
In einen industriellen Prozess ist ein Messkomplex M eingebaut. Er übermittelt
an eine Übertragungseinheit A1 genau eines der beiden Signale S1 oder S2 , das
dann von A 1 zu einer Übertragungseinheit A 2 , von A2 zu einer Übertragungs­
einheit A 3 und von A 3 zu einem Rechner R übermittelt wird.
Jede Übertragungseinheit A i (i = 1, 2, 3) kann genau die Signale S1 oder S2 übermitteln. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ai statt des jeweils empfangenen
­Signals gerade das andere weitergibt, beträgt 0,01.
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Es ist bekannt, dass am Ende eines solchen Ablaufs durch A 3 das Signal S1 in den
Rechner R übertragen wurde.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass M zu Beginn dieses Ablaufs an A1
ebenfalls das Signal S1 übermittelt hatte?
Aufgabe 24
Eine Tür soll mit einer genügend
­großen Anzahl von Schlössern ve­r­
sehen werden. Zu jedem Schloss soll
eine Sorte passender Schlüssel in genügend großer Anzahl vorhanden
sein, wobei jeder Schlüssel zu genau
einem Schloss passen soll.
Elf Personen sollen derartige Schlüssel
erhalten, aber nicht jede Person für jedes Schloss. Vielmehr soll folgende Bedingung erfüllt sein:
Immer, wenn mindestens sechs der elf
Personen anwesend sind, befindet sich
unter ihren Schlüsseln für jedes Schloss
ein passender Schlüssel.
Immer, wenn weniger als sechs Perso­
nen anwesend sind, haben sie für min­­
des­tens ein Schloss keinen passenden
Schlüssel.
Welches ist die kleinste Anzahl von Schlössern und die dazu gehörende Schlüsselverteilung an die elf Personen, mit der diese Bedingung erfüllt werden kann?
Aufgabe 25
In einer Stadt soll ein Netz von mindestens zwei Omnibuslinien eingerichtet
werden, das folgenden Bedingungen genügt:
1. Auf jeder Linie gibt es genau drei Haltestellen.
2. Jede Linie hat mit jeder anderen Linie genau eine Haltestelle gemeinsam.
3.Es ist möglich, von jeder Haltestelle aus jede andere Haltestelle mit einer Linie
ohne Umsteigen zu erreichen.
Ermitteln Sie alle Möglichkeiten für die Anzahl der Omnibuslinien eines solchen
Netzes.
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Exponenten an allen Enden …
Aufgabe 26
In der Menge der reellen Zahlen ist die Gleichung
}
log ​ 1Ï​ 3x – 35 ​ + 1 2​
​ =5
​ 7
}}}}}}
}
2​
log7 ​ 1​Ï x – 20 ​ 5
gegeben.
Bestimmen Sie die Lösungsmenge.
Aufgabe 27
In der Fabrikation durchläuft ein bestimmtes Werkstück 100 Arbeitsgänge. Bei
jedem Arbeitsgang ist mit 1 % Ausschuss zu rechnen. Es sollen 1 000 einwandfreie Werkstücke hergestellt werden.
Wie viele Werkstücke muss die Fabrik in die Produktion schicken?
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Aufgabe 28
Ein Labor bewahrt 3 g eines radioaktiven Elements mit einer Halbwertszeit von
7 Jahren und 24 g eines anderen radioaktiven Elements auf. Nach 21 Jahren
sind die Mengen beider Proben gleich.
Welches ist die Halbwertszeit des zweiten Elements?
Aufgabe 29
Gegeben ist das Gleichungssystem
log2 x + log4 y + log4 z = 2
log9 x + log3 y + log9 z = 2
log16 x + log16 y + log4 z = 2
für positive reelle Zahlen x, y, z.
Bestimmen Sie alle Lösungstripel (x| y |z) dieses Systems.
Aufgabe 30
Nach der Ernte enthält eine Getreidelieferung 28 % Schmutzstoffe. Nach jedem Reinigungsvorgang verringert sich die Menge an Schmutzstoffen um 5 %,
wobei sich die Menge des reinen Getreides nicht ändert.
Wie oft muss das Getreide gereinigt werden, bis sich sein Verschmutzungsgrad
auf 3 % verringert hat?
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Merkwürdiges rund um Zahlen …
Aufgabe 31
In den Ferien war Klaus auf dem Land. Zurückgekehrt, berichtete er schmunzelnd seiner Schwester Lisa von seinen Beobachtungen:
„Ich habe festgestellt, dass dort 1​ }12 ​Hühner in 1​ }21 ​Tagen 1​ }12 ​Eier legen.“
Lisa schaute ihn verdutzt an. Nach einigem Nachdenken sagte sie: „Dann
kannst Du mir doch sicher auch sagen, wie viele Eier 7 dieser Hühner bei gleicher Legeleistung in 6 Tagen legen würden.“
Zuerst war Klaus verblüfft, doch dann fing er an zu rechnen und fand bald die
Antwort.
Welches ist die richtige Antwort auf die Frage von Lisa?
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Aufgabe 32
Mit zwei positiven ganzen Zahlen wurden folgende vier Rechenoperationen
ausgeführt:
1. Beide Zahlen wurden addiert.
2. Die kleinere Zahl wurde von der größeren Zahl subtrahiert.
3. Beide Zahlen wurden multipliziert.
4. Die größere Zahl wurde durch die kleinere Zahl dividiert.
Schließlich wurden die vier Ergebnisse addiert und es ergab sich 243.
Welches sind die beiden Ausgangszahlen?
Aufgabe 33
Wenn 49 + 35 = 82 ist, …
… wie viel ist dann 49 · 35?
Aufgabe 34
Gegeben ist das Gleichungssystem
2x + y = b – az
3x + 4y = 15z – 128
x + y = 2z + 2
mit reellen Zahlen a, b, x, y, z.
Für welche Zahlenpaare (a | b) hat dieses System Lösungen (x | y | z) derart, dass
x, y und z Primzahlen sind?
Aufgabe 35
2
Wir setzen a = (n3)! und b = (​ n!)​n +n+1​.
Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt: a ist durch b teilbar.
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