¨Ubungsblatt H2
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Einführung in die Quantenmechanik und Statistik SoSe 17 Prof. Dr. Julia Tjus Mehmet Gündüz ([email protected]) Mario Hörbe ([email protected]) Frederik Tenholt ([email protected]) Mi. 8:15-9:45 Uhr in NB6/73 Di. 12:15-13:45 Uhr in NB6/73 Di. 12:15-13:45 Uhr in NB6/173 Übungsblatt H2 Abgabe: 23.05. im Zettelkasten, NB7 Nord Wichtig: Bitte gebt jede Aufgabe auf einem separaten Zettel ab und tackert ggf. jene Blätter zusammen, welche zur selben Aufgabe gehören. Sorgt auch dafür, dass Eure Zettel eindeutig einer Übungsgruppe zugeordnet werden können! Aufgabe H2.1: Der Tunneleffekt Ein Teilchen der Masse m und Energie E laufe gegen eine Potentialbarriere der Form a V (x) = V0 Θ − |x| , V0 > 0 . 2 (1) (a) Skizziere die obige Situation und setzte eine angemessene Wellenfunktion Ψ für alle sich ergebenen Teilbereiche an. (b) Zeige, dass das Teilchen für E < V0 eine von 0 verschiedene Aufenthaltswahrscheinlichkeit jenseits der Potentialbarriere besitzt. Eine längere Rechnung zeigt, dass die Transmissionswahrscheinlichkeit der o. g. Situation im Allgemeinen 4E (E − V0 ) 4E (E − V0 ) − V02 sinh (aq) ergibt, wobei q den Wellenvektor des Teilchens innerhalb der Potentialbarriere darstellt. T = (2) (c) Zeige, dass T für E < V0 über T ' n ap o 8E (V0 − E) exp − 2m (V − E) 0 ~ V02 (3) abgeschätzt werden kann. Mit welcher Wahrscheinlichkeit durchtunnelt je ein Elektron der Energie 1 eV und 0.1 eV eine Barriere von 2 eV Höhe und 1 nm Breite? Was ergeben die selben Parameter im Falle eines Protons? Hinweis: Wolfram|Alpha eignet sich gut zur Berechnung dieser Werte. (d) Beschreibe auf welche Weise die Begriffe Raster-Tunnelmikroskop, α-Zerfall und Kernfusion mit dem Tunneleffekt in Verbindung stehen. bitte wenden! Aufgabe H2.2: Periodische Potentiale Das Potential eines eindimensionalen, homogenen Kristalls der Gitterzahl a kann durch V (x) = V0 ∞ X δ (x − an) , V0 > 0 (4) n=−∞ genähert werden. (a) Skizziere die obige Situation und setzte eine angemessene Wellenfunktion Ψn für alle sich ergebenen Teilbereiche n an. (b) Formuliere die Bedingungen, welchen Ψn an den Grenzen der sich ergebenen Teilbereiche genügen muss. Verwende dazu das Bloch-Theorem welches besagt, dass sich Wellenfunktionen in Teilbereichen von periodischen Potentialen lediglich um eine Phase qna unterscheiden, also Ψn (x + na) = eiqna Ψn (x) . (5) (c) Zeige, dass die Bedingungen aus (b) ein Gleichungssystem ergeben, welches der Beziehung cos (qa) = cos (ka) + mV0 sin (ka) ~2 k genügt. Hinweis: Stichwort: Koeffizientenmatrix (d) Zeige, warum dieses Ergebnis die Energiebänder in einem Festkörper repräsentiert. (6)
