Mathematik f ur Physiker, Komplexe ahlen, Seite 1, ½ A ition: Su

Mathematik fu
r Physiker, Komplexe Zahlen, Seite 1,
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Die Menge der komplexen Zahlen besteht aus allen Symbolen z der Gestalt
z = a + bi, wobei die imaginare Einheit i charakterisiert wird durch i2 = 1
und a; b reelle Zahlen sind. Also
C = fa + bij a; b 2 R; i2 =
1g
Addition:
(a1 + b1 i) + (a2 + b2 i) = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i
Subtraktion:
(a1 + b1 i)
(a2 + b2 i) = (a1
a2) + (b1
b2 )i
Multiplikation:
(a1 + b1 i)(a2 + b2 i) = (a1 a2
b1 b2) + (a1b2 + b1 a2)i
Letztere Formel entsteht durch gewohnliches Ausmultiplizieren der Klammern und Beachtung der Relation i2 = 1.
Division: (c + di) 6= 0
a + bi ac + bd bc ad
=
+
i
c + di c2 + d2 c2 + d2
Praktische Durchfuhrung der Division:
a + bi (a + bi)(c di)
=
;
c + di (c + di)(c di)
also Erweiterung des Bruches mit c di. Anschlieend multipliziert man
Zahler und Nenner in der Weise aus, wie es die Multiplikation komplexer
Zahlen vorschreibt. Danach erhalt man obiges Resultat.
Fur z = a + bi nennt man z = a bi die konjugiert komplexe Zahl zu z . Zur
Berechnung obigen Bruches erweitert man also mit der konjugiert komplexen
Zahl des Nenners. Fur z = a + bi nennt man a den Realteil von z; a = <z
und b den Imaginarteil von z; b = =z
1 Friedbert
Pr
ufer, 10/2002
Mathematik fu
r Physiker, Komplexe Zahlen, Seite 2,
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Die komplexen Zahlen konnen in der Gauschen Zahlenebene dargestellt
werden. Dabei legt man ein gewohnliches kartesisches Koordinatensystem
zu Grunde, tragt auf der x-Achse den Realteil ab und auf der y -Achse die
Anteile yi fur z = x + yi. Also entspricht der komplexen Zahl z = x + yi der
Punkt (x; yi) in diesem Koordinatensystem.
Die trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen:
Sei z als Punkt in der Gauschen Zahlenebene dargestellt. Den Abstand von
z zum Koordinatenursprung 0 nennt manpden Betrag von z und schreibt
dafur jz j. Fur z = a + bi erhalt man jz j = a2 + b2 . Es gilt auch zz = jz j2 .
!
Das Bogenba 2 ( ; ] des vom Strahl 0z und der positiven reellen Achse
eingeschlossenen Winkels nennt man das Argument von z und schreibt
dafur arg z .
Die Groen r := jz j und := arg z heien die Polarkoordinaten der komplexen Zahl z .
Umrechnungen zwischen der Gauschen Darstellung z = x + yi und
Polarkoordinaten:
x = r cos ; y = r sin (Zu gegebenen Polarkoordinaten r; berechnet man die Gausche Darstellung.)
r=
px
2
x
r
+ y 2 ; cos = ; ( 0 wenn y 0; < 0 wenn y < 0)
Also zuerst r berechnen, dann den entsprechenden Kosinuswert bestimmen.
Danach kommen i.a. zwei Werte fur in Frage, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden. Mittels des Vorzeichens von y entscheidet man u ber das
Vorzeichen von .
Sind r; von z 2 C bekannt, so nennt man
z = r(cos + i sin )
die trigonometrische Gestalt von z .
Exponentialdarstellung komplexer Zahlen:
Wir denieren fur komplexe Zahlen z = x + yi die komplexe Exponentialfunktion
ez = ex+yi := ex (cos y + i sin y)
Fur diese komplexe Exponentialfunktion gelten z.T. ahnliche Formeln wie
fur die reelle Exponentialfunktion, einige Formeln sind aber vollig neu. Die
beiden wichtigsten werden gegeben durch
2 Friedbert
Pr
ufer, 10/2002
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ez1 ez2 = ez1 +z2 ; ez+2i = ez
fur alle z1 ; z2 ; z 2 C . Die erste Formel entspricht der bekannten Gleichung fur
die reelle Exponentialfunktion, wahrend die zweite Formel die u berraschende
Tatsache ausdruckt, da die komplexe Exponentialfunktion periodisch ist mit
der Periode 2i.
Hat z 2 C die Polarkoordinaten r = jz j und = arg z , dann nennt man
z = rei
die Exponentialdarstellung von z .
Die Exponentialdarstellung ergibt leicht einige wichtige Formeln:
z1 = r1 e1 i; z2 = r2 e2 i =) z1 z2 = r1 r2 e(1 +2 )i und
z1 r1 (1
= e
z2 r 2
Letzteres nur fur z2 =
6 0.
Ferner
(cos + i sin )n = cos (n) + i sin (n)
fur alle n 2 N0 und alle Winkel .
3 Friedbert
Pr
ufer, 10/2002
2 )i ;