Präsenzblatt 2

Sommersemester 2016
Tobias Roßmann
Elementare Zahlentheorie
Präsenzblatt 2
?
Besprechung am 20. April 2016.
Aufgabe 1. Seien a, b ∈ Z.
(i) Zeigen Sie, dass aus a2 | b2 stets a | b folgt.
(ii) Folgt aus a2 | b3 schon a | b?
Aufgabe 2. Es seien x, y, z ∈ Z mit x2 + y 2 = z 2 . Zeigen Sie, dass wenigstens eine der
Zahlen x und y gerade ist.
Aufgabe 3. Unter dem Sieb des Eratosthenes versteht man folgendes Verfahren: Zu
gegebenem N ∈ N notieren wir die Zahlen 2, 3, . . . , N der Reihe nach in einer Liste; zu
Beginn trägt dabei keine Zahl eine Markierung. Solange es noch unmarkierte Zahlen in der
Liste gibt, wählen wir p als kleinste unmarkierte Zahl, markieren p und streichen sämtliche
Vielfachen von p, mit Ausnahme von p selbst.
(i) Zeigen Sie, dass dieses Verfahren terminiert. Zeigen Sie ferner, dass die Liste anschließend genau aus den Primzahlen 6 N besteht.
(ii) Bestimmen Sie sämtliche Primzahlen < 100.
n
Definition. Für n ∈ N0 heißt Fn := 22 + 1 die nte Fermat-Zahl.
Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass Fn und Fm für n 6= m stets teilerfremd sind.
Bemerkung: Dies liefert einen weiteren Beweis dafür, dass es unendlich viele Primzahlen
gibt. (Wieso?)