Invarianten

2. Grundlagen
¾ Beschreibung von Algorithmen durch Pseudocode.
¾ Korrektheit von Algorithmen durch Invarianten.
¾ Laufzeitverhalten beschreiben durch O-Notation.
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Datenstrukturen und Algorithmen
2.Grundlagen
1
Beispiel Minimum-Suche
Eingabe bei Minimum - Suche : Folge von n Zahlen
(a1,a2 ,K ,an ).
Ausgabe bei Minimum - Suche : Index i , so dass ai ≤ a j für
alle Indizes 1 ≤ j ≤ n.
Minimumalg orithmus : Verfahre n, das zu jeder Folge
(a1,a2,K ,an ) Index eines kleinsten
Elements berechnet.
Eingabe : (31,41,59, 26,51,48)
Ausgabe : 4
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2.Grundlagen
2
Min-Search in Pseudocode
Min - Search( A)
1 min ← 1
2 for j ← 2 to length[A]
3
do if A[ j ] < A[min ]
4
then min ← j
5 return min
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3
Pseudocode (1)
¾ Schleifen (for, while, repeat)
¾ Bedingtes Verzweigen (if – then – else)
¾ (Unter-)Programmaufruf/Übergabe (return)
¾ Zuweisung durch ←
¾ Kommentar durch >
¾ Daten als Objekte mit einzelnen Feldern oder
Eigenschaften (z.B. length(A):= Länge des Arrays A)
¾ Blockstruktur durch Einrückung
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4
Invarianten
Definition 2.1 Eine (Schleifen-) Invariante ist eine
Eigenschaft eines Algorithmus, die vor und nach
jedem Durchlaufen einer Schleife erhalten bleibt.
¾ Invarianten dienen dazu, die Korrektheit von
Algorithmen zu beweisen.
¾ Sie werden in der Vorlesung immer wieder auftauchen
und spielen eine große Rolle.
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5
Invarianten und Korrektheit
Invariante und Korrektheit von Algorithmen wird
bewiesen, indem gezeigt wird, dass
¾ Die Invarianten vor dem ersten Schleifendurchlauf
erfüllt ist (Initialisierung).
¾ Die Eigenschaft bei jedem Schleifendurchlauf erhalten
bleibt (Erhaltung).
¾ Die Invariante nach Beendigung der Schleife etwas
über die Ausgabe des Algorithmus aussagt,
Algorithmus korrekt ist (Terminierung).
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Min-Search
Min - Search( A)
1 min ← 1
2 for j ← 2 to length[A]
3
do if A[ j ] < A[min ]
4
then min ← j
5 return min
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Invariante bei Min-Search
Invariante: Vor Schleifendurchlauf mit Index i ist A[min]
kleinstes Element in A[1..i-1].
Initialisierung: Der kleinste Index für die Schleife ist
i=2. Davor ist A[min]=A[1].
Erhaltung: if-Abfrage mit then in Zeilen 3 und 4 ersetzt
korrekt Minimum, wenn zusätzlich A[i] betrachtet
wird.
Terminierung: Vor Durchlauf mit i=n+1 ist A[min] das
Minimum der Zahlen in A[1..n].
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Laufzeitanalyse und Rechenmodell
Für eine präzise mathematische Laufzeitanalyse benötigen
wir ein Rechenmodell, das definiert
¾
¾
¾
¾
Welche Operationen zulässig sind.
Welche Datentypen es gibt.
Wie Daten gespeichert werden.
Wie viel Zeit Operationen auf bestimmten Daten
benötigen.
Formal ist ein solches Rechenmodell gegeben durch die
Random Accsess Maschine (RAM).
RAMs sind Idealisierung von 1- Prozessorrechner mit
einfachem aber unbegrenzt großem Speicher.
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Basisoperationen – Kosten
Definition 2.2: Als Basisoperationen bezeichnen wir
¾ Arithmetische Operationen – Addition, Multiplikation,
Division, Ab-, Aufrunden.
¾ Datenverwaltung – Laden, Speichern, Kopieren.
¾ Kontrolloperationen – Verzweigungen, Programmaufrufe, Wertübergaben.
Kosten: Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass jede
dieser Operationen bei allen Operanden gleich viel Zeit
benötigt.
In weiterführenden Veranstaltungen werden Sie andere
und häufig realistischere Kostenmodelle kennen lernen.
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Eingabegröße - Laufzeit
Definition 2.3: Die Laufzeit T(I) eines Algorithmus A bei
Eingabe I ist definiert als die Anzahl von Basisoperationen,
die Algorithmus A zur Berechnung der Lösung bei
Eingabe I benötigt.
Definition 2.4: Die (worst-case) Laufzeit eines
Algorithmus A ist eine Funktion T : N → R + , wobei
T ( n ) : = max{T ( I ) : I hat Eingabegrö ße ≤ n}.
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Eingabegröße – Laufzeit (2)
¾ Laufzeit angegeben als Funktion der Größe der Eingabe.
¾ Eingabegröße abhängig vom Problem definiert.
¾ Eingabegröße Minimumssuche = Größe des Arrays.
¾ Laufzeit bei Minimumsuche: A Array, für das Minimum
bestimmt werden soll.
T(A ):= Anzahl der Operationen, die zur Bestimmung
des Minimums in A benötigt werden.
Satz 2.5: Algorithmus Min-Search hat Laufzeit T(n) ≤ an+b
für Konstanten a,b.
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Minimum-Suche
Min - Search(A)
cost
1 min ← 1
2 for j ← 2 to length[A]
3
do if A[ j ] < A[min ]
4
then min ← j
5 return min
c1
c2
c3
c4
c5
times
1
n
n −1
t
1
Hierbei ist t die Anzahl der Mimimumswe chsel.
Es gilt t ≤ n − 1.
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O-Notation
+
N
R
→
Definition 2.6. : Sei g :
eine Funktion. Dann bezeichnen
wir mit O (g ( n )) die folgende Menge von Funktionen
⎧
Es existieren Konstanten c , n0 ,⎫
⎪
⎪
=
≥
O (g ( n )) : ⎨f ( n ) : so dass für alle n n0 gilt
⎬
⎪
⎪
≤
≤
0
f
(
n
)
cg
(
n
)
.
⎭
⎩
¾ O(g(n)) formalisiert: Die Funktion f(n) wächst
asymptotisch nicht schneller als g(n).
¾ Statt f(n)∈ O(g(n)) in der Regel f(n)= O(g(n))
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Ω-Notation
Definition 2.7: Sei g : N → R + eine Funktion. Dann bezeichnen
wir mit Ω(g ( n )) die folgende Menge von Funktionen
Es existieren Konstanten c , n0 ,⎫
⎧
⎪
⎪
Ω(g ( n )) : = ⎨f ( n ) : so dass für alle n ≥ n0 gilt
⎬
⎪
⎪
0 ≤ cg ( n ) ≤ f ( n ).
⎭
⎩
¾ Ω(g(n)) formalisiert: Die Funktion f(n) wächst
asymptotisch mindestens so schnell wie g(n).
¾ Statt f(n)∈ Ω(g(n)) in der Regel f(n)= Ω(g(n))
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Θ-Notation
Definition 2.8: Sei g : N → R + eine Funktion. Dann bezeichnen
wir mit Θ(g ( n )) die folgende Menge von Funktionen
Es existieren Konstanten c1 , c 2 , n0 , ⎫
⎧
⎪
⎪
Θ(g ( n )) : = ⎨f ( n ) : so dass für alle n ≥ n0 gilt
⎬
⎪
⎪
≤
≤
≤
0
c
g
(
n
)
f
(
n
)
c
g
(
n
)
.
⎭
1
2
⎩
¾ Θ(g(n)) formalisiert: Die Funktion f(n) wächst
asymptotisch genau so schnell g(n).
¾ Statt f(n)∈ Θ(g(n)) in der Regel f(n)= Θ(g(n))
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Illustration von Θ(g(n))
c2g ( n )
f(n)
c1g ( n )
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Regeln für Kalküle - Transitivität
O-, Ω- und Θ-Kalkül sind transitiv, d.h.:
¾ Aus f(n)= O(g(n)) und g(n)= O(h(n)) folgt f(n)= O(h(n)).
¾ Aus f(n)= Ω(g(n)) und g(n)= Ω(h(n)) folgt f(n)= Ω(h(n)).
¾ Aus f(n)= Θ(g(n)) und g(n)= Θ(h(n)) folgt f(n)= Θ(h(n)).
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Regeln für Kalküle - Reflexivität
¾ O-, Ω- und Θ-Kalkül sind reflexiv, d.h.:
f(n) = O(f(n))
f(n) = Ω(f(n))
f(n) = Θ(f(n))
¾ Θ-Kalkül ist symmetrisch, d.h.
f(n) = Θ(g(n)) genau dann, wenn g(n) = Θ(f(n)).
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Regeln für Kalküle
Satz 2.10: Sei f : N → R + mit f (n ) ≥ 1 für alle n. Weiter sei
k , l ≥ 0 mit k ≥ l . Dann gilt
(
k
(
l
)
1.
f (n ) = O f (n ) .
2.
f (n ) = Ω f (n ) .
l
k
)
Satz 2.11: Seien ε , k > 0 beliebig. Dann gilt
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1.
log(n ) = O (n ε ).
2.
n = Ω log(n) .
k
ε
(
k
)
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Anwendung auf Laufzeiten
Min-Search
Satz 2.11: Minimum-Search besitzt Laufzeit Θ(n).
Zum Beweis ist zu zeigen:
1. Es gibt ein c 2 , so dass die Laufzeit von
Min - Search bei allen Eingaben der
Größe n immer höchstens c 2 n ist.
2. Es gibt ein c1, so dass für alle n eine
Eingabe I n der Größe n existiert bei der
Min - Search mindestens Laufzeit
c1n besitzt.
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Anwendung auf Laufzeiten (2)
¾ O-Notation erlaubt uns, Konstanten zu ignorieren.
¾ Wollen uns auf asymptotische Laufzeit konzentrieren.
¾ Werden in Zukunft Laufzeiten immer mit Hilfe von O-,
Ω-,Θ-Notation angeben.
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