Uebungsblatt 02 fuer PHYS3100 Grundkurs IIIb

Übungsblatt 02
PHYS3100 Grundkurs IIIb (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)
Othmar Marti, ([email protected])
15. 11. 2004 oder 22. 11. 2004
1 Aufgaben
1. Berechnen Sie für eine gerade Linie mit der Linienladung
∆q
∆`→0 ∆`
das elektrische Feld als Funktion des Abstandes zur Linienladung.
λ = lim
2. Wie können Sie mit einer positiven Ladung Q, einer negativen Ladung −Q
und einem perfekten Leiter eine Quadrupolanordnung erzeugen? Wie gross
ist das elektrische Feld entlang einer Diagonale durch zwei gleichnamige
Ladungen? Verwenden Sie den Abstand zweier nächster Ladungen als Referenz r0 .
3. Berechnen Sie das Potential U (~r) der Quadrupol-Anordnung. Welche Form
hat das Potential am Punktsymmetriezentrum? Welche Form hat das Potential für grosse Abstände entlang einer Linie durch die beiden positiven
Ladungen?
4. Eine nichtleitende Kugel mit dem Radius a und dem Mittelpunkt im Ursprung habe einen kugelförmigen Hohlraum mit dem Radius b und dem
Mittelpunkt bei x = b, y = 0 und
z = 0. Die Kugel besitze die homogene
Raumladungsdichte ρ. Zeigen Sie, dass
das elektrische Feld im Hohlraum homogen ist und durch Ex = ρb/3²0 sowie
Ey = Ez = 0 beschrieben wird. Hinweis: Ersetzen Sie den Hohlraum durch
Kugeln mit gleich grossen positiven und
negativen Ladungsdichten.
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5. Ein geladener Kreisring (Ringradius r, Ladung Q) befinde sich in der yz~
Ebene bei x = 0 mit dem Mittelpunkt bei (0,0,0). Berechnen Sie E(x)!
Berechnen Sie das dazugehörige Potential!
6. Nehmen Sie an, dass das Elektron eine homogen geladene Kugelschale mit
dem Radius re sei. Berechnen Sie den gesamten Energieinhalt des elektrischen Feldes für r ≥ re und setzen Sie diese Energie gleich der relativistischen Ruheenergie des Elektrons. Verwenden Sie die Gleichung
w=
²0 2
E
2
für die Energiedichte des elektrischen Feldes E. Wie gross ist der klassische
Elektronenradius re ? Wie wäre das Resultat für ein Proton? Was Schliessen
Sie daraus?
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2 Lösungen
1. Wir verwenden eine zylinderförmige Fläche wie in der Zeichnung
mit der Länge ` und dem Radius r. Wir verwenden den Satz
ZZ
ZZZ
~ r) · d~a(~r) =
D(~
A
ρel (~r)dV
V (A)
und erhalten für die Ladung
ZZZ
ρel (~r)dV = d` · λ
V (A)
Aus Symmetriegründen (Translationssymmetrie und Spiegelsymmetrie) kann
das elektrische Feld nur senkrecht auf dem Leiter stehen. Also ist
ZZ
ZZ
~ r) · d~a(~r) =
D(~
A
~ r) · d~a(~r) = 2πr · d` · ²0 E(r)
²0 E(~
A
Somit erhalten wir
d` · λ = 2πr · d` · ²0 E(r)
oder
E(r) =
λ
2π²0 · r
2. Die beiden Ladungen müssen wie in der Skizze angeordnet werden:
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Zur Berechnung des elektrischen Feldes verwenden wir dieses Koordinatensystem:
Aus Symmetriegründen kann das elektrische Feld nur eine x-Komponente
haben. Am Punkt P existieren die folgenden Felder:
E1 =
1 Q(x − r0 /2)
4π²0 |x − r0 /2|3
1 Q(x + r0 /2)
4π²0 |x + r0 /2|3
1
−Qx
E3 =
2
4π²0 (x + r02 /4)3/2
1
−Qx
E4 =
4π²0 (x2 + r02 /4)3/2
E1 und E2 müssen so definiert werden, um die Vorzeichen richtig zu bekommen. Also ist
·
¸
(x − r0 /2)
(x + r0 /2)
2x
Q
+
−
E=
4π²0 |x − r0 /2|2 |x + r0 /2|2 (x2 + r02 /4)3/2
E2 =
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oder





E=
Q
2π²0
h
Q
− 2π²
0
x2 +r02 /4
2
2
2
(x
h −r0 /4)
−
x
(x2 +r02 /4)3/2
2ax
+
(x2 −r02 /4)2

h

2
2

x +r0 /4
 − Q
+
2π²0 (x2 −r2 /4)2
0
i
,
i
für x > r0 /2;
x
,
(x2 +r02 /4)3/2 i
x
(x2 +r02 /4)3/2
für −r0 /2 < x < r0 /2;
, für x < −r0 /2.
Die Kurve sieht so aus:
Elektrisches Feld
15
10
E
5
0
−5
−10
−15
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
3. Für eine Quadrupolanordnung wie angegeben
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kann man das Potential aus den Einzelpotentialen berechnen. Das Potential
einer einzelnen Ladung plaziert am Ort (xi ,yi ) und gemessen bei (x,y) ist
Ui (x,y) =
1
Qi
4π²0 ((x − xi )2 + (y − yi )2 )(1/2)
Das Gesamtpotential ist also
U (x,y) =
4
X
Ui (x,y)
i=1
oder
"
Q
1
p
U (x,y) =
r
0
4π²0
(x − 2 )2 + (y −
1
−p
r0 2
(x + 2 ) + (y − r20 )2
1
+p
r0 2
(x + 2 ) + (y + r20 )2
1
−p
r0 2
(x − 2 ) + (y +
r0 2
)
2
#
r0 2
)
2
Das Symmetriezentrum ist 0,0. In erster Ordnung ist
¯
¯
∂ ¯¯
∂ ¯¯
U1 (x,y) = U (0,0) +
U
U
x+
y
∂x ¯x=0,y=0
∂y ¯x=0,y=0
Mit
∂
p
∂x (x ∓
1
r0 2
) + (y ∓
2
1
= − ¡
2 (x ∓
r0 2
)
2
= ¡
2(x ∓
r0 2
)
2
x±
(x ∓
r0 2
)
2
r0
)
2
+ (y ∓
r0
2
+ (y ∓
¢
r0 2 3/2
)
2
¢
r0 2 3/2
)
2
(die Ableitung nach y ist analog) wird
¯
∂ ¯¯
=0
U
∂x ¯x=0,y=0
und
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¯
∂ ¯¯
=0
U
∂y ¯x=0,y=0
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Ebenso ist
U (0,0) = 0
so dass die erste Ordnung identisch null ist. Die zweite Ordnung lautet:
¯
¯
¯
¯
1 ∂ 2 ¯¯
1 ∂ 2 ¯¯
∂2
2
2
U2 (x,y) =
U¯
x +
U¯
y +
U ¯¯
xy
2
2
2 ∂x
2 ∂y
∂x∂y x=0,y=0
x=0,y=0
x=0,y=0
Die Ableitungen der Summanden sind
∂2
p
∂x2 (x ∓
1
r0 2
) + (y ∓
2
=
r0 2
)
2
∂
¡
∂x (x ∓
x±
r0 2
)
2
r0
2
+ (y ∓
¢
r0 2 3/2
)
2
(x ± r20 )2(x ∓ r20 )
3
− ¡
¢
2 (x ∓ r0 )2 + (y ∓ r0 )2 5/2
1
= ¡
¢3/2
(x ∓ r20 )2 + (y ∓ r20 )2
(x ∓ r20 )2 + (y ∓ r20 )2 + 3(x ± r20 )2
=
¡
¢5/2
(x ∓ r20 )2 + (y ∓ r20 )2
2
und
∂2
p
∂x∂y (x ∓
1
r0 2
) + (y ∓
2
r0 2
)
2
=
=
=
Damit sind
∂
¡
∂y (x ∓
x±
r0
2
¢3/2
r0 2
) + (y ∓ r20 )2
2
(x ± r20 )2(y ∓ r20 )
3
− ¡
¢
2 (x ∓ r0 )2 + (y ∓ r0 )2 5/2
2
2
3(x ± r20 )(y ± r20 )
¡
¢5/2
(x ∓ r20 )2 + (y ∓ r20 )2
¯
∂ 2 ¯¯
U
=0
∂x2 ¯x=0,y=0
¯
∂ 2 ¯¯
U
=0
∂y 2 ¯x=0,y=0
√
¯
3 2
¯
r
3
∂2
2
0
4
= ³ ´5/2 = 3
U1 ¯¯
2
∂x∂y
r0
r0
x=0,y=0
2
√
¯
3
¯
(−r02 )
∂2
3 2
4
¯
= ³ ´5/2 = − 3
U2
∂x∂y ¯x=0,y=0
r0
r02
2
¯
¯
∂2
U3 ¯¯
∂x∂y
=
x=0,y=0
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3 2
r
4 0
³ 2 ´5/2
r0
2
√
3 2
= 3
r0
c
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√
¯
3
2
¯
(−r
)
∂2
2
3
0
U4 ¯¯
= ³4 ´5/2 = − 3
2
∂x∂y
r0
r0
x=0,y=0
2
Damit ist in zweiter Ordnung
√
√
3 2
12 2
U (x,y) ≈ 4 3 xy =
xy
r0
r03
Dies ist eine Sattelfläche.
4.
• Die Kugel mit Hohlraum kann durch Überlagerung einer Kugel mit
Radius a, zentriert um (0; 0; 0) und der Ladungsdichte ρ sowie einer
Kugel mit dem Radius b zentriert auf (b; 0; 0) mit der Ladungsdichte
−ρ erzeugt werden.
• E-Feld im Inneren einer homogen geladenen Kugel
1 Qr
4π²0 R3
1 r 4π 3
=
ρR
4π²0 R3 3
ρ
=
r
3²0
Er (r) =
• x,y,z-Komponenten des elektrischen Feldes einer Kugel mit Mittelpunkt (x̃; 0; 0)
•


x − x̃
~ (x,y,z) = ρ  y 
E
3²0
z
• In unserem Falle ist innerhalb der kleinen Kugel:
 

 

x
x−b
b
ρ  
ρ 
ρ  
~

y
y
0
E (x,y,z) =
−
=
3²0
3²0
3²0
z
z
0
was zu zeigen war.
5.
q
2πr
• Abstand
√ der Ladung vom Kreisring zum Punkt x :
d = r 2 + x2
~ (Aus Symmetriegründen sind die y - und z• x-Komponente von E
Komponenten 0)
• Ladungsdichte λ =
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λrdϕ
x
4π²0 (r2 + x2 ) 32
Z2π
λr
xdϕ
2πλrx
λrx
qx
Ex =
3 =
3 =
3 =
3
2
2 2
2
2 2
2
2 2
4π²0 (r2 + x2 ) 2
4π²
2²
4π²
0 (r + x )
0 (r + x )
0 (r + x )
0
• dEx =
• Potential:
Zx
U =−
∞
qξ
4π²0 (r2 + ξ 2 )
3
2
dξ =
q
1
4π²0 (r2 + x2 ) 2
6. Das elektrische Feld einer Ladung e ist
E(r) = −
1 e
4π²0 r2
Die Energiedichte ist
²0
w(r) =
2
µ
1 e
−
4π²0 r2
¶2
=
e2
32π 2 ²0 r4
Der Energieinhalt in Kugelkoordinaten ist
Z∞ Zπ Z2π
w(r) · r2 sin(Θ) · dr · dΘ · dφ
EF eld =
re
0
0
Z∞
w(r) · r2 · dr
= 4π
re
Z∞
= 4π
re
e2
=
8π²0
e2
· dr
32π 2 ²0 r2
Z∞
1
· dr
r2
re
¯∞
2
e2
e 1 ¯¯
=
= −
8π²0 r ¯re
8π²0 re
Andererseits ist
Em = me c2
Durch Gleichsetzen erhalten wir
re =
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e2
= 1.4 · 10−15 m
8π²0 me c2
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Mit den Werten für ein Proton erhielten wir
rp = 8 · 10−19 m
was ja nicht stimmt!
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