Vollständige Märkte - Universität zu Köln

Vollständige Märkte
Mathias Krämer
Mathematisches Institut - Universität zu Köln
13.05.2016
Gliederung
Vorstellung
Grundlagen
Grundlegende Denitionen
Preise von bedingten Claims
Bedingte Claims
Preise von bedingten Claims
Die Entwicklung von Optionspreisen
Vollständige Märkte
Denition
Second fundamental theorem of asset pricing
Die Martingal-Repräsentationseigenschaft
Zusammenfasung und Ausblick
Vorstellung
I
I
I
I
Stochastic nance von Hans Föllmer und Alexander Schied
Kapitel 5: Dynamic arbitrage theory
1. Teil: Bewertung von bedingten Claims
2. Teil: Vollständige Märkte
Grundlagen
Denition (bedingter Claim)
Eine nicht-negative Zufallsvariable C auf (Ω, FT , P) heiÿt
(europäischer) bedingter Claim bzw. Option. Eine bedingter
Claim C heiÿt Derivat auf den zugrunde liegenden Assets
S 0 , ..., S d , falls C messbar auf der durch den Preisprozess
(S t ), t ∈ 0, ..., T erzeugten σ − Algebra ist.
Denition
Eine bedingter Claim heisst erreichbar bzw. replizierbar, falls es
eine selbst-nanzierende Handelsstrategie ξ gibt, für die gilt:
C = ξT ∗ ST P.-fast sicher.
Denition
Eine reelle Zahl π H heiÿt arbitrage-freier Preis
eines diskontierten bedingten Claims H, falls es einen
stochastischen Prozess X d+1 gibt, so dass gilt:
I
X0d+1 = π H ,
I
Xtd+1 ≥ 0, für t = 1, ..., T und
I
XTd+1 = H
und das zum Preisprozess gehörige Marktmodell arbitragefrei ist.
Die Menge aller arbitragefreien Preise von H nennen wir Π(H). Die
Obere Grenze von Π(H) nennen wir πsup (H), die untere πinf (H).
Satz
Die Menge der arbitrage-freien Preise für einen diskontierten Claim
ist gegeben durch:
Π[H] = {E ∗ [H] | P ∗ ∈ P und E ∗ [H] < ∞}
Bedingte Claims
Satz
Sei H ein diskontierter Claim. Dann gilt:
1. Falls H erreichbar ist, dann besteht die Menge der
arbitragefreien Preise Π(H) aus einem Element V0 .
2. Falls H nicht erreichbar ist, gilt (πinf (H) < πsup (H)) und
Π(H) = (πinf (H), πsup (H))
I
I
Nun wird ein Fälligkeitszeitpunkt T0 < T betrachtet.
In T0 kann ein Payo von C0 erzielt werden.
2 mögliche Vorgehen zur Bestimmung eines fairen Preises:
I
I
1.Möglichkeit: Anwendung der bisherigen Ergebnisse auf
Zeitpunkt T0
2.Möglichkeit: Investieren des Payos C0 in T0 in risikoloses
Instrument bis zum Zeitpunkt T.
I
Intuitiv sollte die Wahl des Vorgehens egal sein, also
Π(H) = Π(H0 ) := {E0∗ [H0 ] | P0∗ ∈ P0 und E0∗ [H0 ] < ∞}
I
Diese Eigenschaft wird ersichtlich, wenn man die Entstehung
der Martingalmaÿe zum Zeitpunkt T0 betrachtet:
Lemma
Wir betrachten die oben beschriebene Situation und ein gegebenes
Maÿ P0∗ ∈ P0 . Dann gibt es ein Maÿ P ∗ ∈ P , dessen Beschränkung
auf FT0 gleich P0∗ ist.
I
Abschlieÿend wollen wir nun noch eine Aussage über die
Preiskurve von europäischen Optionen machen
Beispiel
Wir betrachten ein arbitragefreies Marktmodell mit einem
risikolosen Asset S0 , dessen Preisprozess vorhersagbar ist. Wir
vergleichen nun zwei faire Preise für zwei europäische Call-Optionen
C0 = (ST1 0 − K )+ und C = (ST1 − K )+ , mit dem selben
zugrundeliegenden Assets und gleichem Strikepreis. Sie
unterscheiden sich jedoch im Fälligkeitszeitpunkt T0 < T . Für ein
P ∗ ∈ P erhalten wir dann:
E ∗ [C /ST0 | FT0 ] ≥ 1/ST0 0 (ST1 0 − KE ∗ [ST0 0 /ST0 | FT0 ])+ ≥ C0 /ST0 0
I
Wenn wir also P ∗ nutzen um die Preise von C0 und C zu
berechnen gilt:
E ∗ [C /ST0 ] ≥ E ∗ [C0 /ST0 ].
⇒ Die Preiskurve für europäische Optionen muss steigend sein.
Vollständige Märkte
Denition
Ein arbitragefreies Marktmodell heiÿt vollständig, wenn jeder
Claim erreichbar ist.
I
d.h. jeder Claim hat eindeutigen arbitragefreien Preis
I
I
I
Positiv: Intuitive Darstellung
Problem: In nur sehr wenigen diskreten Modellen der Fall
Daher auÿerdem alternative Darstellung:
Satz (Second fundamental theorem of asset pricing)
Ein arbitragefreies Modell ist genau dann vollständig, wenn es in
ihm genau ein äquivalentes Martingalmaÿ gibt. Im Falle der
Vollständigkeit ist die Anzahl der Atome in (Ω, FT , P) durch
(d + 1)T begrenzt.
Satz
Für ein Martingalmaÿ P ∗ ∈ P sind folgende Aussagen äquivalent:
1. P = {P ∗ }
2. Jedes P ∗ -Martingal kann als stochastisches Integral eines
d-dimensionalen vorhersagbaren Prozesses ξ dargestellt werden
P
Mt = M0 + tk=1 ξk (Xk − Xk−1 ) für t = 0, ..., T
Zusammenfassung und Ausblick
I
I
I
arbitragefreie Preise sind eindeutig
verschiedene Charakterisierung vollständiger Märkte
Zentral: Second fundamental theorem of asset pricing
I
Kapitalmarkt mit nur einem riskanten Asset muss die Struktur
eines binären Baumes haben.
⇒ Ansatzpunkt für Weiterentwicklung des Modells (vgl. Modell
von Cox, Ross und Rubinstein)