Finanzmathematik I

Prof. Dr. T. Meyer-Brandis
H. Hoffmann
Winter term 2015/16
Finanzmathematik I
Problem Sheet 10
Aufgabe 10.1 (∗): Gegeben sei ein arbitragefreier und vollständiger T -Perioden-Finanzmarkt
auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, (Ft )t=0,...,T , P), welcher aus einem Numéraire St0 =
(1 + r)t , t ∈ {0, ..., T }, r > −1, und einer Aktie mit diskontiertem Preisprozess (Xt )t=0,...,T
besteht. Mit P∗ bezeichnen wir das eindeutige äquivalente Martingalmaß.
Sei ferner (Ht )t=0,...,T der diskontierte Preisprozess einer amerikanischen Option mit
Ht = ψ(Xt ) ∈ L 1 (Ω, Ft , P∗ )
für alle t ∈ {0, ..., T },
wobei ψ : R → R eine konkave Funktion ist.
i) Zeigen Sie, dass Ht = ψ(Xt ) ein P∗ -Supermartingal ist.
ii) Zeigen Sie, dass es in diesem Fall optimal ist, die amerikanische Option sofort auszuüben.
Seien nun Ω =P{−1, 1}2 = {(i, j) | i, j ∈ {−1, 1}}, F = P(Ω) und sei P gegeben durch
P({(i, j)}) = 41 ω∈Ω δω . Weiter sei Y1 (i, j) = i·2i und Y2 (i, j) = j ·2j . Betrachten Sie den Zweiperiodenmarkt gegeben
durch einen Numéraire S 0 mit St0 = 1, t = 0, 1, 2, und durch eine Aktie
Pt
1
1
S mit St = 2 + u=1 Yu , t = 0, 1, 2, mit der Filtration F0 = {∅, Ω}, F1 = σ(Y1 ), F2 = F. Wir
führen eine amerikanische Lookback-Call-Option C = (Ct )t=0,1,2 mit Ct = (St1 − min0≤u≤t Su1 )+ ,
ein.
iii) Geben Sie für den betrachteten Markt die Dichte
maßes P∗ an.
dP∗
dP
eines zu P äquivalenten Martingal-
iv) Berechnen Sie den arbitragefreien Preis der amerikanischen Lookback-Call-Option.
v) Geben Sie die Stoppzeiten τmin und τmax unter P∗ an.
Aufgabe 10.2: Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien Y1 , Y2 i.i.d. Zufallsvariablen mit PY1 = 13 (δ 1 + δ1 + δ2 ). Wir konstruieren ein zweiperiodiges Marktmodell (St0 , St1 )t=0,1,2
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auf (Ω, F, P) mit der Filtration F0 = {∅, Ω}, F1 = σ(Y1 ), F2 = σ(Y1 , Y2 ) wie folgt: S 0 mit
St0 = 1, t = 0, 1, 2, sei der Numéraire, während die Aktie S 1 die Werte S01 = 1, S11 = Y1 ,
S21 = Y1 Y2 annimmt. Wir führen eine amerikanische Call Option C mit Ct = (St1 − 1)+ ,
t = 0, 1, 2, ein.
Bestimmen Sie die Menge der arbitragefreien Preise Π(H) von H an. Begründen Sie Ihre Entscheidung bzgl. der Zugehörigkeit von Πinf (H) zu Π(H).
Aufgabe 10.3: Sei X ∼ N (µ, σ 2 ) eine normalverteilte Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P). Berechnen Sie VaRλ (X) und AVaRλ (X).
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