¨Ubung zur Einführung in die Stochastische Finanzmathematik Blatt 6

Prof. Dr. Christoph Kühn, Björn Ulbricht
SoSe 2012
Übung zur Einführung in die Stochastische
Finanzmathematik
Blatt 6
Abgabe Mittwoch, 11.7.2012 vor der Vorlesung
Aufgabe 21 Betrachte eine zweidimensionale Verallgemeinerung
Qt des Cox-Rosst
1
0
Rubinstein Modells. Sei dazu St = (1 + r) , r > −1, St = i=1 Ai und St2 =
Qt e
e
e
i=1 Ai , wobei A1 , . . . , AT , A1 , . . . , AT unabhängig und identisch verteilt sind
ei = u) = p und P (Ai = d) = P (A
ei = d) = 1 − p,
mit P (Ai = u) = P (A
0 < d < 1 + r < u und p ∈ (0, 1). Die Filtration ist gegeben durch F0 = {∅, Ω}
e1 , . . . , At , A
et ), t > 0.
und Ft = σ(A1 , A
Ist das Marktmodell vollständig ? Beweisen oder widerlegen Sie dazu sowohl die
Replizierbarkeit aller Claims als auch die Eindeutigkeit des äquivalenten Martingalmaßes (natürlich ohne die Äquivalenz der beiden Aussagen zu benutzen).
Aufgabe 22 Man betrachte das folgende multiplikative Trinomialmodell: S 0 sei
konstant 1, und die Analge S 1 sei gegeben durch S01 = 1 und
St1
=
t
Y
Aj ,
t = 1, . . . , T,
j=1
wobei die Inkremente Aj unter P unabhängig und identisch verteilt sind mit
P (A1 = u) = pu , P (A1 = 1) = p1 , P (A1 = d) = pd , wobei 0 < pu , p1 , pd < 1,
pu + p1 + pd = 1, 0 < d < 1 < u und ud = 1. Die Filtration sei wie üblich von S 1
erzeugt.
(a) Bestimmen Sie alle äquivalenten Martingalmaße Q für (S 0 , S 1 ) bei Numeraire S 0 durch Angabe der Übergangswahrscheinlichkeiten Q(At+1 = x|Ft ),
x ∈ {d, 1, u}. Geben Sie die äquivalenten Martingalmaße an, unter denen
die Aj wieder i.i.d. sind.
(b) Bestimmen Sie für T = 2 ein Wahrscheinlichkeitmaß Q, das wieder äquivalentes Martingalmaß für (S 0 , S 1 ) bei Numeraire S 0 ist, unter dem die Aj
aber nicht mehr unabhängig sind. Wieso kann diese Situation nicht auftreten, wenn man p1 = 0 setzt (Binomialmodell) ?
Bitte wenden
1
Aufgabe 23 Im Cox-Ross-Rubinstein Modell betrachten wir eine asiatische Option mit einer Auszahlung der Form
H=
h(ST1 , S̄ 1 )
T
1X 1
mit S̄ :=
S
T t=1 t
1
für eine Funktion h : R+ × R+ → R+ . Zeigen Sie: P
Der Wertprozess der replizierenden Strategie ist von der Form Vt = vt (St1 , tu=1 Su1 ) für Funktionen
vt : R+ × R+ → R+ .
Aufgabe 24 Eine Chooser-Option gibt dem Käufer das Recht, zu einem vorher
festgelegten Zeitpunkt t0 ∈ {1, 2, . . . , T − 1} zwischen einer Call- und einer PutOption mit Fälligkeit T und Ausübungspreis K auf dasselbe Underlying S 1 zu
wählen. Wir nehmen an, dass Underlying, Call und Put zum Zeitpunkt t0 gehandelt werden und der Käufer sich für diejenige der beiden Optionen entscheidet,
die zum Zeitpunkt t0 den höheren Preis hat.
(i)
(ii)
Geben Sie das Auszahlungsprofil der Chooser-Option an.
Wir betrachten nun ein arbitragefreies Modell mit risikolosem Wertpapier St0 = (1 + r)t , t = 0, 1, . . . , T , in dem die Preise der Call- und PutOption bereits bekannt sind. Zeigen Sie, dass für den Startpreis π(chooser)
der Chooser-Option gilt
g
π(chooser) = π(call) + π(p
ut)
Dabei bezeichne π(call) den Startpreis eines Calls auf S 1 mit Fälligkeit T
g
und Ausübungspreis K und π(p
ut) bezeichne den Startpreis eines Puts auf
1
S mit Fälligkeit t0 und Ausübungspreis K(1 + r)t0 −T .
Allgemeiner Hinweis: Wenn nicht anders angegeben, gibt es für jede Aufgabe
4 Punkte.
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