Finanzmathematik I

Prof. Dr. T. Meyer-Brandis
H. Hoffmann
Winter term 2015/16
Finanzmathematik I
Problem Sheet 6
Beachten Sie, dass Sie für die folgende Aufgabe zwei Wochen Zeit haben. D.h. die Aufgabe wird
auch erst in der übernächsten Übung besprochen.
Aufgabe 6.1 (∗): Gegeben seien T unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen Yi ∈
L∞ (Ω, F, P), i = 1, ..., T , welche nicht P-f.s. konstant sind und sodass EP [Yi ] = 0. Wir definieren
den Prozess
t
X
Xt := X0 +
Yi , t = 0, ..., T,
i=1
wobei X0 ∈ R und die Filtration F0 := {Ω, ∅} und Ft := σ(Y1 , ..., Yt ) für alle t = 1, ..., T . Ferner
betrachten wir auch die erweiterte Filtration
Fet := σ Ft , σ(XT ) .
Diese Filtration modelliert “Insiderinformationen“ über den finalen Wert XT des Prozesses X.
i) Zeigen Sie, dass X ein Martingal auf (Ω, (Ft )t=0,...,T , F, P) ist, aber nicht auf
(Ω, (Fet )t=0,...,T , F, P).
ii) Zeigen Sie, dass
EP
h
i
Yj | Fet =
T
1 X
Yi ,
T − t i=t+1
∀j ∈ {t + 1, ..., T }.
h
P
i
T
Y
und benutzen Sie, die allgemeine
HINWEIS: Betrachten Sie hierzu EP Yj | σ
i
i=t+1
Unabhängigkeitsregel der bedingten Erwartung, d.h. für zwei σ-Algebren G, H und eine
integrierbare Zufallsvariable X mit H ⊥
⊥ σ (σ(X), G) gilt
EP [X | σ(G, H)] = EP [ X | G].
iii) Zeigen Sie, dass der Prozess
et := Xt −
X
t−1
X
i=0
1
(XT − Xi )
T −i
ein Martingal auf (Ω, (Fet )t=0,...,T , F, P) ist.
iv) Sei P := {ξ = (ξ1 , ..., ξT ) : ξ ist (Fet )-vorhersehbar und |ξt | ≤ 1 P-f.s. für alle t} die Menge
der durch 1 beschränkten Insiderstrategien. Bestimme ein ξ ∈ P , welches den erwarteten
Gewinn
" T
#
X
EP
ξt (Xt − Xt−1 )
t=1
über P maximiert.
1
Aufgabe 6.2: Gegeben sei ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, (Ft )t=0...T , P) und ein
zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß Q mit Radon-Nikodym-Dichte dQ
. Natürlich sind
dP
P und Q auch äquivalente
Wahrscheinlichkeitsmaße auf den Messräumen (Ω, Ft ), t = 0, ..., T .
die Dichte des auf Ft eingeschränkten Maßes Q|Ft bzgl. des auf
Wir bezeichnen mit dQ
dP Ft
Ft eingeschränkten Maßes P|Ft . Der stochastische, adaptierte Prozess dQ wird der
dP Ft
t=0,...,T
Dichteprozess von Q bzgl. P genannt.
= EP dQ Ft P-f.s.
i) Zeigen Sie, dass dQ
dP Ft
dP
ii) Zeigen Sie, dass der Dichteprozess ein Martingal ist.
Aufgabe 6.3: Sei St1 > 0 P-f.s. für alle t = 0, ..., T . Wir bezeichnen mit
0
St
St2
Std
0
1
d
Z t = (Zt , Zt , ..., Zt ) :=
, 1, 1 , ..., 1 , t = 0, ..., T
St1
St
St
e die Menge aller äquivalenten Martingalmaße für
den durch S 1 diskontierten Preisprozess. Sei P
Z. Dann ist aufgrund des FTAP und der Tatsache, dass die Definition von Arbitrage unabhängig
e 6= ∅ ⇐⇒ P 6= ∅.
vom Numéraire ist P
i) Zeigen Sie, dass
)
∗
1
e
X
d
P
T
∗
e ∗
P
dP∗ = X 1 für ein P ∈ P .
0
(
e=
P
ii) Zeigen Sie, dass
e=
P ∩P
6 ∅,
⇐⇒
XT1 = c ∈ R+ P-f.s.
Aufgabe 6.4: Wir betrachten einen Zweiperiodenmarkt gegeben durch einen Numéraire S 0 =
(St0 )t=0,1,2 mit St0 = 1, t = 0, 1, 2, sowie eine Aktie S 1 = (St1 )t=0,1,2 mit S01 = 1, die zu den
Zeitpunkten t = 1 und t = 2 entweder mit Wahrscheinlichkeit 21 um den Faktor a > 1 wächst
oder um a1 fällt, und zwar jeweils unabhängig von den vorherigen Zeitpunkten. Der Informationsfluss auf dem Markt sei nur gegeben durch den Verlauf der Aktie S 1 (d.h. die Filtration
(Ft )t=0,1,2 sei von S 1 erzeugt).
i) Modellieren Sie das beschriebene Szenario mit einem sinnvollen filtrierten W’raum.
ii) Ist der Markt arbitragefrei?
Aufgabe 6.5: Gegeben sei ein 3-Perioden Finanzmarkt, bestehend aus einem Numéraire mit
St0 = 1, t = 1, ..., 3, (r = 0), sowie einem riskanten Wertpapier S 1 . Es sei S01 = 5 und der Wert
von S 1 ändere sich von einem Zeitpunkt zum nächsten unabhängig vom aktuellen Wert von S 1
additiv entweder mit Wahrscheinlichkeit p = 34 um den Wert u > 0 oder mit Wahrscheinlichkeit
1 − p = 41 um den Wert − 53 < d < 0. Des Weiteren sei F0 = {∅, Ω}, F1 = σ(S01 , S11 ), F2 =
σ(S01 , S11 , S21 ) sowie F = F3 = σ(S01 , S11 , S21 , S31 ).
i) Modellieren Sie das beschriebene Szenario mit einem sinnvollen filtrierten W’raum.
ii) Ist der Markt arbitragefrei?
Sei nun konkret u = 2 und d = − 12 .
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iii) Bestimmen Sie die folgenden bedingten Erwartungswerte:
EP [S21 | F1 ], EP [X31 | F1 ], EP [X31 | F2 ]
EP∗ [S21 | F1 ], EP∗ [X31 | F1 ], EP∗ [ X31 | F2 ].
Aufgabe 6.6: Wir betrachten einen Zweiperiodenmarkt gegeben durch ein Numeraire S 0 =
(St0 )t=0,1,2 mit St0 = 1, t = 0, 1, 2, sowie eine Aktie S 1 = (St1 )t=0,1,2 mit S01 = 1, die zu den Zeitpunkten 1 und 2 entweder mit Wahrscheinlichkeit 1/2 um den Faktor a > 1 wächst oder um
1/a fällt, und zwar jeweils unabhängig von den vorherigen Zeitpunkten. Der Informationsfluss
auf dem Markt sei nur gegeben durch den Verlauf der Aktie S 1 (d.h. die Filtration (Ft )t=0,1,2
sei von S 1 erzeugt).
Wir führen das Derivat S22 := max(S01 , S11 , S21 ) ein. Finden Sie eine replizierende Handelsstrategie für S 2 .
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