j j j dS ∂

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AK Hartmann, Thermodynamik und Statistische Physik
8.12.2005
Phasenraumgeschwindigkeit:
(10.24)
π̇ = (q̇, ṗ) =
∂H
∂pi
∂H
, −
∂qi i
i
(10.29)
⇒lokale Änderung der Dichte = Stromdichte:
j = ρ(π)π̇
(10.30)
⇒Strom durch eine geschlossene Oberfläche ∂VΓ heraus
∂VΓ
= negative Änderung innerhalb der Oberfläche VΓ
(dS=Oberflächenelement in Γ):
Z
Z
∂
ρ(π)dπ
dS · j = −
∂t VΓ
∂VΓ
R
R
Mit Gausschem Satz für vektorielle Felder A(x): V dx divA = ∂V dS · A
Z
∂ρ
+ divj = 0
⇒
dπ
∂t
VΓ
wobei hier
divj(q, p) =
X ∂ji (q, p)
∂qi
i
+
j
j VΓ j
dS
X ∂j3N +i (q, p)
i
(10.31)
(10.32)
∂pi
(10.31) muss für jeden Raumbereich VΓ gelten ⇒Kontinuitätsgleichung
∂ρ
+ divj = 0
∂t
⇒
∂ρ
∂t
(10.30)(10.32)
=
=
(10.29)
=
−
X ∂ρq̇i
∂ρṗi
+
∂qi
∂pi
(10.33)
i
X X ∂ρ
∂ q̇i ∂ ṗi
∂ρ
−
q̇i
−
ρ
+ ṗi
+
∂q
∂p
∂q
∂pi
i
i
i
i
i
X ∂H ∂ρ
X
∂2H
∂H ∂ρ
∂2H
−
−
ρ
−
−
∂p
∂q
∂q
∂p
∂p
∂q
∂q ∂p
i
i
i
i
i
i
i
i
{z i i }
|
=0
(10.26)
=
− {ρ, H}q,p = {H, ρ}q,p
(10.34)
die Liouvillsche Gleichung
Mit der Ensemble Strömung mitbewegt: ρ(t) = ρ(q(t), p(t), t)
⇒
dρ Kettenregel X ∂ρ ∂qi X ∂ρ ∂pi ∂ρ
=
+
+
dt
∂q
∂t
∂p
∂t
∂t
i
i
i
i
(10.34)
= 0
Die Umgebung ändert sich lokal nicht (Die “Wahrscheinlichkeits-Flüssigkeit” ist inkompressibel)
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AK Hartmann, Thermodynamik und Statistische Physik
Q
Anmerkung: dπ = i (dqi dpi ): Dimension ([Länge][Impuls])3N (z.B. Einheit m kg m/s), also
[Wirkung]3N (z.B. Einheit Js=kg m2 s2 /s)
−34
⇒Konvention: betrachte dπ/h3N (h =
R 6, 256×10 Js), nenne das wieder dπ (hat Dimension
[1]) und eiche ρ(π) um, dass wieder dπ ρ = 1.
Mittelwert einer Observablen F = F (π, t) (Scharmittel)
Z
hF i(t) = dπ F (π, t)ρ(π, t)
(10.35)
= 0, also ρ =const, is ρ stationär
Falls ∂ρ
∂t
⇒stationären Gesamtheit.
Ergodenhypothese lautet also, für geeignetes (s.u.) ρ =stationär, F 6= F (t)
Z
Z
1 t0
dπ F (π)ρ(π, t0 |π 0 ) = dπ F (π)ρ(π) = hF i
F = lim
t0 →∞ t0 0
Zeitmittel = Scharmittel
Man kann zeigen: h. . .i invariant unter kanonischen Transformationen, ⇒unabhängig von π
⇒Definition Spur:
Z
Sp f := dπ f (π)
(10.36)
Es gelten
(I)
(II)
(III)
(IV )
Sp f = Sp f
Sp (αf + βg) = α Sp f + β Sp g
Sp (ff ) > 0 für f 6= 0
Sp (f g) = Sp (gf )
(α, β ∈ C)
(10.37)
(10.38)
(10.39)
(10.40)
gleiche Eigenschaften wir für Spurbildung bei Matrizen
insbesondere Sp ρ = 1, hF i = Sp (F ρ)
Anmerkung: Wenn F = F (π) ( ∂F
= 0) kann man die Zeitabhängikeit entweder in ρ = ρ(t)
∂t
stecken, oder alternativ mittels (10.25) ⇒F = F (t) in Observablen mit ρ = ρ(t0 ), analog
zur QM.
Erinnerung an Quantenmechanik
Reine Gesamtheit = Ensemble vieler identischer Systeme, alle im gleichen Zustand ψ präpariert.
Mittelwert für Observable (Operator Â) hÂi = hψ|Â|ψi
Statistisches
P Gemenge: Jede reine Gesamtheit Gn ist mit Anteil (Wahrscheinlichkeit) 0 ≤
pn ≥ 1 ( n pn = 1) vetreten
X
X
⇒ hÂi =
pn hψn |Â|ψn i =:
pn hÂiΨ
(10.41)
n
n
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Sei {|ni} := {|ψn i} ein vollständig orhornormiertes System (vonS) im Hilbertraum mit
X
Â|ni = an |ni
hm|ni = δm,n
(10.42)
(10.43)
|nihn| = 1̂
(10.44)
X
(10.45)
n
Def. Spur:
Sp  =
hn|Â|ni
n
(Vor.: Reihe konvergiert)
Die Spur ist unabhängig vom vonS: für {|φm i}, {|ψn i} gilt
X
hψn |Â|ψn i
2×(10.44)
=
n
XX
n
XX
=
m
(10.44)
=
=
hψn |Â|φm ihφm |ψn i
m
hφm |ψn ihψn |Â|φm i
n
X
hφm |Â|φm i
m
⇒DIE Spur (unabhängig vom vonS)
Eigenschaften
• Sp Â+ = Sp Â
(adjungierter Operator Â+ :
(Â+ g, f ) = (g, Âf ) bzw. hf |Â+ |gi = hg|Â|f i ∀f, g)
• Sp (α + β B̂) = α Sp  + β Sp B̂
(10.46)
(α, β ∈ C)
• Sp (Â+ Â) > 0 für  6= 0
• Sp (ÂB̂) = Sp (B̂ Â)
Für mehrere Operatoren: nicht beliebig vertauschbar, sondern zyklisch
Sp (ÂB̂ Ĉ) = Sp (B̂ Ĉ Â) = Sp (Ĉ ÂB̂)
(10.47)
• Invariant gegenüber unitären (Û + Û = 1̂) Transformationen:
(10.47)
Sp (Û + ÂÛ ) = Sp (Û Û + Â) = Sp (1̂Â) = Sp A
(=weiterer Beweis für Unabhängigkeit vom vonS, da Û ⇔ {|ψn i} → {|φmi})
Spur von Operatoren entspricht der Phasenraumspur in allen wichtigen Eigenschaften
⇒Später nur von von “Spur” die Rede, unabhängig ob M/QM
QM statistisches Gemenge lässt sich durch statistischen Operator Ŵ (auch Dichteoperator)
beschreiben mit den Eigenschaften:
1. Ŵ ist hermitesch (Ŵ = Ŵ + )
2. Ŵ ist nicht-negativ (Ŵ ≥ 0), d.h. alle Eigenwerte ≥ 0
AK Hartmann, Thermodynamik und Statistische Physik
3. Sp Ŵ = 1
4. hÂi = Sp (ÂŴ )
Ausblick:
Für eine reine Gesamtheit ist W̃ = |ψihψ|, ⇔ Sp W̃ 2 = Sp W̃
∂ Ŵ
i
= − [Ĥ, Ŵ ]
∂t
~
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