Arbeitsblatt 7 ¨Ubungen zu Mathematik IV für das Lehramt an der

Tabelle 1: Beweis von (1)
A
1
1
0
0
B A∩B A∩B
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
A
0
0
1
1
B A∪B
0
0
1
1
0
1
1
1
24. Mai 2005
Arbeitsblatt 7
Übungen zu Mathematik IV für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe
sowie an Sonderschulen
B. Werner
SoSe 05
23.5.05
Präsenzaufgaben:
1. Wir wollen die Mengen-Regeln von de Morgan,
A∩B =A∪B
(1)
A ∪ B = A ∩ B,
(2)
und
aufgreifen und dabei die Menge A mit der Aussage x ∈ A oder der Aussage Das Ereignis
”
A ⊂ Ω tritt in einem Zufallsexperiment mit Merkmalraum Ω ein“ vergleichen.
(a) Wie in Kap.I.9.5 belegen wir eine Aussage mit dem Wahrheitswert“ 1, wenn sie wahr
”
ist, sonst mit 0.
Überzeugen Sie sich, dass Tab. 1 einen Beweis von (1) wiedergibt.
(b) Wie lautet die Regel (1) für Aussagen? Hinweis: Verwenden Sie die logischen Operatoren
∧ ( und“) sowie ∨ ( oder“) und ersetzen Sie die Mengen A, B durch Aussagen A,B.
”
”
(c) Wir betrachten mal wieder als Zufallsexperiment das Würfeln dreier Würfel. A sei das
Ereignis Dreier-Pasch“ und B das Ereignis gerade Augensumme“. Was besagt jetzt die
”
”
Regel (1)?
2. Angenommen, man kennt aus langjähriger Erfahrung die Unfall-Wahrscheinlichkeiten auf
einem gewissen Landstraßenabschnitt am Wochenende. Genauer, man kennt die Wahrscheinlichkeit pk , dass sich genau k Unfälle ereignen, k = 0, 1, 2, 3. Vier oder gar mehr Unfälle hat es
nie gegeben. Es sei p1 = 0.2, p2 = 0.05, p3 = 0.015.
1
(a) Wie groß ist p0 ?
(b) Welches ist der Merkmalraum Ω?
(c) Wie definieren Sie P (A) für A ⊂ Ω, damit die Kolmogoroff-Axiome gelten?
(d) Bestätigen Sie die Kolmogoroff-Axiome und die Aussagen von Satz 3.3 in Spezialfällen.
Übungsaufgaben: (Abgabe 31.5.05 in den Übungen)
Aufgabe 25:
Betrachte die de Morgansche Regel
A ∪ B = A ∩ B,
(3)
(a) Veranschaulichen Sie diese Aussage mit Hilfe einer Zeichnung mit Mengen A, B ⊂ IR2 .
(b) Ein Zufallsexperiment habe den Merkmalraum Ω := {1, 2, ..., 40}. A ⊂ Ω enthalte alle
geraden Zahlen und B ⊂ Ω die Menge aller durch 3 teilbaren Zahlen. Interpretieren Sie
in diesem Fall (3).
Beweisen Sie (3) mit einer Wahrheitstabelle analog zu Tab. 1.
(c) Wie lautet die Regel (3) für Aussagen? Hinweis: Verwenden Sie die logischen Operatoren
∧ ( und“) sowie ∨ ( oder“).
”
”
(d) Die Implikation von Aussagen (A ⇒ B) entspricht der Teilmengenrelation A ⊂ B, die
Negation von Aussagen entspricht der Komplementbildung von Mengen (s. Kap.I.9.5).
Formulieren Sie die logische Äquivalenz
(A ⇒ B) ⇐⇒ (B ⇒ A)
als Aussage über Mengen.
Aufgabe 26:
Ein Kolmogoroff-Axiom lautet bekanntlich
P (A ∪ B) = P (A) + P (B), falls A und B disjunkt sind.
Diese Aussage kann verallgemeinert werden: Wenn Aj , j = 1, 2, .., n, paarweise disjunkte Teilmengen von Ω sind, so gilt
P (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + · · · + P (An )
(4)
Beweisen Sie (4) mit vollständiger Induktion, wobei Sie obiges Kolmogoroff-Axiom als Spezialfall n = 2 auffassen sollten. Hinweis:
A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ∪ An+1 = (A1 ∪ · · · ∪ An ) ∪ An+1 .
2
Ich hoffe, Sie sehen, dass in dem Hinweis ein Induktionsschlüssel“ verborgen ist!
”
Aufgaben 27/28:
In einer Urne befinden sich N Kugeln, von denen r rot und s schwarz sind (N = r + s).
Nun werde n-mal mit Zurücklegen gezogen (Achtung: Bisher wurden N mit n und n mit k
bezeichnet!).
Jedes Ziehungsergebnis aus
Ω1 := {(a1 , ..., an ) ∈ INn : 1 ≤ aj ≤ N, j = 1, 2, ..., n}
sei gleichwahrscheinlich. Nun interessieren wir uns für das Ereignis
Ak := {(a1 , ..., an ) ∈ Ω1 : genau k der gezogenen Kugeln Kugeln sind rot},
dass genau k der gezogenen Kugeln rot sind, wobei 0 ≤ k ≤ n. Für das Folgende kann es
hilfreich sein, sich die r roten Kugeln mit 1, 2, ..., r (in rot!) und die schwarzen Kugeln mit
r + 1, r + 2, ..., N (in schwarz!) beschriftet zu denken. Das Ziehungsergebnis denke man sich
dadurch visualisiert, dass man sich die Nummern und die Farbe der gezogenen Kugeln auf n
angeordnete Plätze geschrieben denkt (Platzierungsmodell).
Achten Sie darauf, dass es eine Vielzahl von Variablen gibt: N (Anzahl der Kugeln), r (Anzahl
der roten Kugeln), n (Anzahl der Züge) und k (Anzahl der roten Kugeln nach n Zügen).
s = N − r (Anzahl der schwarzen Kugeln) ergibt sich aus den anderen Variablen. Wenn später
nach der Wahrscheinlichkeit P (Ak ) gefragt wird, hängt diese möglicherweise von allen diesen
Variablen ab!
(a) Sei n = 3, N = 3, r = 2, s = 1, k = 2. Notieren Sie alle (wieviele?) Platzierungen zu Ak in
Form eines (farbigen!) 3-Tupels aus {1, 2, ..., N }3 . Hinweis: (3, 3, 2) bedeutet, dass in den
ersten beiden Zügen jeweils die schwarze Kugel Nr.3 und im letzten Zug die rote Kugel
Nr.2 gezogen wurde. Da nur eine rote Kugel gezogen wurde, gilt (3, 3, 2) 6∈ Ak .
(b) Sei n = 5, N = 6, r = 4, s = 2, k = 2. Sei (R, S, R, S, S) ein Symbol für die Tatsache,
dass im ersten Zug eine rote, im zweiten eine schwarze, im dritten wieder eine rote, .....,
und im letzten Zug eine schwarze Kugel gezogen wird. Wieviele Ziehungsergebnisse aus
Ω1 führen auf diese rot-schwarz-Platzierung“?
”
(c) Jetzt betrachten wir den allgemeinen Fall. Angenommen, Sie kennen die Plätze der k roten
(und der n − k schwarzen) Kugeln nach n Zügen, aber nicht ihre Nummern. Wieviele
Ziehungsergebnisse können zu dieser rot-schwarz-Platzierung führen? Gesucht ist eine
Formel, in die r, s, n, k eingehen. Hinweis: Vielleicht sollten Sie sich überlegen, wie Sie die
vorherige Teilaufgabe gelöst haben.
(d) Wieviele rot-schwarz-Platzierungen mit k roten und n − k schwarzen Kugeln gibt es?
Hinweis: Überlegen Sie genau, was unter einer rot-schwarz-Platzierung“ verstanden wird.
”
In die gesuchte Formel gehen nur k und n ein!
3
(e) Wieviele Elemente hat Ak ? Hinweis: Überprüfen Sie Ihre Formel im Beispiel (a).
(f) Wieviele Elemente hat Ω1 ?
(g) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P (Ak )? Hinweis: Drücken Sie die Wahrscheinlichkeit
mit Hilfe von p := Nr aus. Hinweis: N n = N k · N n−k .
4