Die Binet-Cauchy Formel

Die Binet-Cauchy Formel
Sei A = (αi,j ) eine m × n Matrix. Für 1 ≤ p ≤ min{m, n} und zwei Sequenzen
r = (1 ≤ r1 < r2 < · · · < rp ≤ m) und s = (1 ≤ s1 < s2 < . . . < sp ≤ n) formen
wir die p × p Matrix Ar,s durch streichen alle Zeilen außer der Zeilen mit Index
r1 , . . . , rp und alle Spalten außer der Spalten mit Index s1 , . . . , sp .
Die Determinante det Ar,s ist dann ein p-Minor von A.
Für p = 1 hat man Ar,s = αr,s . 

1 2 3 4 5
Zum Beispiel m = 3, n = 5 A = 6 7 8 9 0. Dann hat man für p = 2,
2 4 6 8 0 3 4
r = (1, 3) und s = (3, 4) die Matrix A(1,3),(3,4) =
.
6 8
Satz (Binet-Cauchy Formel). Sei A eine m × n Matrix, B eine n × t Matrix,
1 ≤ p ≤ min{m, t}, r = (1 ≤ r1 < · · · < rp ≤ m) und s = (1 ≤ s1 < · · · < sp ≤ t).
Dann gilt die Formel
X
det(AB)r,s =
det Ar,c det B c,s .
c=(1≤c1 <···<cp ≤n)
Bemerkung. Für p = 1 ist diese Formel genau die Formel für die Matrixmultiplikation:
X
X
(AB)r,s =
Ar,c B c,s =
αr,c βc,s .
1≤c≤n
Proof. Wir haben, dass (AB)i,j =
genau die Matrix
(AB)r,s =
n
X
1≤c≤n
P
1≤c≤n
αi,c βc,j . Also ist die Matrix (AB)r,s
αri ,cj βcj ,sj
1≤i,j≤p
cj =1
Pn
αr1 ,c1 βc1 ,s1

..
=
.
Pn
α
β
r
p ,c1 c1 ,s1
c1 =1
c1 =1
Pn
···

αr1 ,cp βcp ,sp

..
.
.
Pn
cp =1 αrp ,cp βcp ,sp
cp =1
···
Weil die Determinante linear (in den Spalten) ist, bekommt man
det(AB)r,s =
n
X
det αri ,cj βcj ,sj
1≤i,j≤p
c1 ,...,cp =1
=
n
X
c1 ,...,cp =1

αr1 ,c1 βc1 ,s1

..
det 
.
···

αr1 ,cp βcp ,sp

..
.
.
αrp ,c1 βc1 ,s1
···
αrp ,cp βcp ,sp
Jetzt bemerken wir, dass

 
αr1 ,c1 βc1 ,s1 · · · αr1 ,cp βcp ,sp
αr1 ,c1

  ..
..
..

= .
.
.
αrp ,c1 βc1 ,s1 · · · αrp ,cp βcp ,sp
αrp ,c1
1
···
···

αr1 ,cp
βc1 ,s1
..  
.  0
0
..
.
0
αrp ,cp
0
βcp ,sp
0


0 
2
Die Determinante ist multiplikativ, also
n
X
det(AB)r,s =
det(αri ,cj )βc1 ,s1 · · · βcp ,sp .
c1 ,...,cp =1
Falls ci = cj sind zwei Spalten der Matrix (αri ,cj ) gleich und deswegen ist die Determinante null. Das heißt, die Summe geht über alle Zahlen c1 , . . . , cp , die verschieden
sind. Nach einer Permutation sind diese Zahlen der Größe nach angeordnet. Also
X
X
det(αri ,cσ(j) )βcσ(1) ,s1 · · · βcσ(p) ,sp .
det(AB)r,s =
c=(1≤c1 <···<cp ≤n) σ∈Sp
Wir wissen, dass det(αri ,cσ(j) ) = sgn(σ) det(αri ,cj ) = sgn(σ) det Ar,c . Wir setzen
ein und bekommen
X
X
det Ar,c
sgn(σ)βcσ(1) ,s1 · · · βcσ(p) ,sp .
det(AB)r,s =
c=(1≤c1 <...<cp ≤n)
σ∈Sp
Wir können jetzt die Leibniz-Formel für det B c,s verwenden, um den Beweis zu
vervollsrändigen.