Ubungen zur Vorlesung Theorie I (Mechanik) - staff.uni

Institut für Physik
WS 2014/2015
Friederike Schmid
Übungen zur Vorlesung Theorie I (Mechanik)
Blatt 11
Quickies:
88. Wie behandelt man ein System, das nur leicht um einen Zustand minimaler Energie herumschwingt, in linearer Näherung?
89. Was ist eine Normalmodenzerlegung?
90. Was versteht man unter dem Begriff Liouville-integrabel?
91. Erklären Sie den Begriff der Winkel/Wirkungs-Variablen.
92. Was ist generell das Kennzeichen von Chaos?
93. Wie lautet das Poincarésche Wiederkehrtheorem?
94. Skizzieren Sie die wesentliche Aussage des KAM-Theorems.
Aufgaben (abzugeben in der Vorlesung vom 30.1.2015)
Aufgabe 32) Phasenraum (10 Punkte)
Betrachten Sie ein System eines Teilchens der Masse m in einer Dimension, das unter
Einfluss der Schwerkraft in Richtung z frei nach unten fällt. Die Hamiltonfunktion lautet
also H(z, p) = p2 /2m + mgz.
(a) Skizzieren Sie die Trajektorien im Phasenraum (z, p) für mindestens zwei verschiedene
Anfangsbedingungen (z(0), p(0)) = (z0 , p0 ). Können die Trajektorien sich kreuzen?
Begründen Sie Ihre Antwort.
(b) Betrachten Sie nun die Gesamtheit aller Punkte in der (z, p)-Ebene, die zu der Energie
E = und der Energie E = − gehören. Sie erhalten jeweils eine Kurve. Betrachten
Sie die Fläche, die von diesen Kurven und den Geraden p = −p0 ± δ eingeschlossen
wird und berechnen Sie deren Flächeninhalt.
(c) Betrachten Sie nun die Gesamtheit aller Trajektorien, deren Anfangsbedingungen
(z0 , p0 ) zur Zeit t = 0 innerhalb der in (b) definierten Fläche liegen. Zur Zeit t
verschiebt sich die Fläche, auf der die Punkte (z(t), p(t)) liegen. Bestimmen Sie die
Randkurven dieser Fläche zur Zeit t und den Flächeninhalt als Funktion der Zeit.
(d) Wenn Sie sich nicht verrechnet haben, ist der Flächeninhalt in (c) unabhängig von
der Zeit. Warum muss das so sein?
Aufgabe 33) Eindimensionaler periodischer Kristall (10 Punkte)
Betrachten Sie einen periodischen Kristall in einer Dimension, bestehend aus N Teilchen
der Masse m mit Koordinaten xj mit Gleichgewichtsabstand a (N sei ungerade). Einfachkeitshalber nehmen wir ”periodische Randbedingungen” an, d.h. wir fügen noch eine
virtuelle Koordinate x0 = xN − N a hinzu. (Bei N → ∞ sollte es auf diese eine Koordinate
nicht ankommen!) In linearer Näherung
kann man das Potential dann schreiben als
PN
U (x1 , · · · , xN ) = j=1 κ2 (xj − xj−1 − a)2 .
Analysieren Sie die Normalmoden des Systems.
Gehen Sie dabei folgendermaßen vor:
(a) Stellen Sie die Hamiltonfunktion H(x, p) auf.
√
Zeigen Sie, dass die Transformation (x, p) 7→ (q̃, p̃) mit xj → q̃j = (xj − j a) m und
√
pj → p̃j = pj / m kanonisch ist und geben Sie den funktionalen Ausdruck für H(q̃, p̃)
an.
(b) Um H zu diagonalisieren, machen wir zunächst eine diskrete Fouriertransformation:
q P
q P
N
1
−2πikj/N q̃ ,
2πikj/N p̃ .
q̂k = N1 N
e
p̂
=
j
j
k
j=1
j=1 e
N
Hierbei gilt q̂N −k = q̂−k = q̂k∗ und p̂N −k = p̂−k = p̂∗k (warum?)
q P
q P
−1 2πikj/N
N −1 −2πikj/N
1
Die Umkehrung ist q̃j = N1 N
e
q̂
,
p̃
=
p̂k .
j
k
k=0
k=0 e
N
Eine wichtige Relation
ist auch
1 PN
2πijn/N
δnm = N j=1 e
e−2πijm/N für n, m ∈ [0, · · · , N − 1].
Aus den Realteilen (<) und Imaginärteilen (=) der q̂k und p̂k generieren wir N unabhängige kanonische Koordinaten ξ und Impulse P mittels:
ξ0 = q̂0√
,
P0 = p̂0√
ξk,1 = √2 <(q̂k )
Pk,1 = √2 <(p̂k )
für k ∈ [1, (N − 1)/2]
ξk,2 = 2 =(q̂k )
Pk,2 = 2 =(p̂k )
Zeigen Sie, dass die Transformation (q̃, p̃) 7→ (ξ, P ) kanonisch ist. Berechnen Sie den
funktionalen Ausdruck für H(ξ, P ).
(c) In Teilaufgabe (b) erhalten Sie einen Ausdruck der Form
P
P(N −1)/2 2
2 ω 2 ).
(Pk,α + ξk,α
H = 21 (P02 + ξ02 ω02 ) + 21 α=1,2 k=1
k
Das entspricht einem System von N unabhängigen Oszillatoren.
- Tragen Sie ωk gegen k/N auf.
- Es gibt eine Mode k mit ωk = 0. Welche? Diskutieren Sie die physikalische
Bedeutung dieses Befundes.
Falls Sie die Teilaufgabe (b) nicht lösen konnten, dann rechnen Sie mit ωk2 = 1 − cos(2πk/N )
Aufgabe 34) Dissipatives Chaos am Beispiel des getriebenen Pendels
(10 Punkte + maximal 10 Sonderpunkte für besonders gründliche Recherche)
In der Vorlesung haben wir das Hamiltonschen Chaos kurz diskutiert. Genauso interessant
ist das Chaos in dissipativen Systemen, d.h. Systemen mit Reibung, in denen die Hamiltonsche Mechanik und insbesondere der Liouville-Satz nicht gilt. Zu diesem Themenkomplex
gibt es jede Menge Informationsmaterial im Internet. In dieser Aufgabe sollen Sie diese
Informationen recherchieren und dabei die wichtigsten Signaturen des dissipativen Chaos
kennenlernen.
Um das Problem etwas einzugrenzen, konzentrieren Sie sich speziell auf das System des
getriebenen Pendels (englisch ”damped driven pendulum”). Die Bewegungsgleichung für
die Winkelvariable θ in diesem System lautet:
d2 θ
g
dθ
= − sin(θ) − η
+ F sin(ωt)
2
dt
l
dt
Hier ist g die Erdbeschleunigung, l die Länge des Pendels, η der Reibungskoeffizient, und
F und ω die Amplitude und Frequenz der treibenden Kraft.
Applets dazu finden Sie z.B. bei www.physics.orst.edu/∼rubin/nacphy/JAVA pend/ oder
www.robert-doerner.de/en/driven-pendulum/driven-pendulum.html. Vielleicht finden Sie
noch bessere. Spielen Sie damit herum.
Recherchieren Sie dann die Antwort auf folgende Fragen:
(a) Bei niedrigen Amplituden und Triebkräften verhält sich ein getriebenes Pendel qualitativ ähnlich wie ein getriebener gedämpfter harmonischer Oszillator, d.h. es schwingt
sich ein in eine einfach periodische Schwingung der Frequenz ω (vgl. Aufgabe 4). Wie
sieht die Trajektorie dieser Bewegung in der Ebene Winkel gegen Winkelgeschwindigkeit
aus? Skizzieren Sie ein Beispiel.
(b) Was ist ein Poincaré-Schnitt (englisch Poincaré-section)? Wie sieht der PoincaréSchnitt der einfachen Schwingung von a) nach der ersten Einschwingphase aus?
(c) Was versteht man unter Frequenzverdopplung und wann tritt sie auf? Wie sieht
nach Frequenzverdopplung die Trajektorie im Phasenraum aus? Wie sieht dann der
Poincaré-Schnitt aus?
(d) Was passiert, wenn man die treibende Kraft noch weiter erhöht?
(e) Was ist ein Bifurkationsdiagramm? Skizzieren Sie ein Beispiel für ein Bifurkationsdiagramm des getriebenen Pendels. Vergessen Sie nicht, die Achsen zu beschriften.
Erklären Sie anhand dieses Diagramms das sogenannte Feigenbaum-Szenario des Eintritts ins Chaos.
(d) Was ist ein Attraktor? Was ist z.B. der Attraktor der einfachen Schwingung aus
Beispiel (a)?
(e) Was ist speziell ein seltsamer Attraktor (englisch strange attractor)? Was kennzeichnet ihn und wann beobachtet man ihn?
Eine erste mögliche Informationsquelle ist physics.bc.edu/MSC/430/T2/Verlet-DDNLO.html.
und natürlich Wikipedia. Sie finden noch weitere Informationsquellen, wenn Sie nach den
unterstrichenen Begriffen suchen.