Thermodynamik und Statistik

Thermodynamik und Statistik
WS 2008/09
Blatt 2
16.10.2008
Aufgabe 4
a) Bestimme die Polarisation ρ = ω|S|ω
eines Spin 1/2-Teilchens in einem beliebigen Mikrozustand ω = αχ+ + βχ− , wobei χ± die Eigenvektoren der Pauli-Matrix σz sind, d.h.
σz χ± = ±χ± (α, β ∈ ).
• Von wievielen reellen Parametern hängt ρ ab ?
• Inwieweit bestimmt die Polarisation ρ = (ρx , ρy , ρz ) den Zustand ω ?
• Welcher Zustand gehört zu −ρ, wenn ρ durch (α, β) charakterisiert ist ?
b) Bestimme den allgemeinen Dichteoperator für ein Spin 1/2-Teilchen als Funktion der PauliMatrizen und drücke diesen in der Pauli-Matrizen-Darstellung durch die zugehörige Polarisation ρ = h̄2 Tr(Dσ ) aus.
Aufgabe 5
Betrachte einen Würfel, bei dem die Zahl 6 beim Werfen zweimal so häufig auftritt wie die Zahl
1. Bei den übrigen Zahlen ist keine Besonderheit festzustellen. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten
w1 , . . . , w6 , welche die Entropie maximieren.
Hinweis:
S(w1 , . . . , w6 ) = −
6
wi ln wi .
i=1
Aufgabe 6
Bestimme den Dichteoperator D̂, welcher die Entropie S = −k Tr(D̂ ln D̂) unter den beiden
Nebenbedingungen Tr D̂ = 1 und Tr(D̂Ĥ) = U extremal macht.
Hinweis:
Die Variation eines Operators  →  + δ  berechnet sich in einer Operatorfunktion f (Â) unter
der Spur so, als ob δ  und  kommutieren: δ Tr f (Â) = Tr δ Âf (Â).