Prof. Dr. Barbara König ¨U

Universität Duisburg-Essen
Ingenieurwissenschaften / Informatik
Dozent: Prof. Dr. Barbara König
Übungsleitung: Dr. Sander Bruggink
WS 2013/14
29. Januar 2014
Übungsblatt 11
Abgabe: 5. Februar 2014
Logik
Die Hausaufgaben zu diesem Übungsblatt müssen bis spätestens Mittwoch, den 5. Februar
2014 um 16:00 Uhr abgegeben werden. Bitte werfen Sie Ihre Abgabe in den mit Logik
beschrifteten Briefkasten neben Raum lf, oder geben Sie sie online ab über die moodlePlattform. Wenn Sie online abgeben, laden Sie bitte ihre Lösungen in Form einer einzigen pdfDatei hoch. Bitte schreiben Sie auf Ihre Abgabe deutlich Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer,
die Gruppenummer und die Vorlesung (“Logik”).
Aufgabe 35
Prädikatenlogische Resolution
(8 Punkte)
(a) Zeigen Sie mit Hilfe von prädikatenlogischer Resolution, dass die folgende Klauselmenge
unerfüllbar ist. Zeichnen Sie den Resolutionsbeweis graphisch auf und notieren Sie auch
die verwendeten Substitutionen.
(4 p)
F = {P (f (a), g(x)), Q(f (x), z)}, {¬P (f (z), g(f (z))), ¬R(z)},
{¬Q(f (x), g(b)), ¬R(a)}, {R(x)} .
(b) Zeigen Sie mit Hilfe von prädikatenlogischer Resolution, dass die folgende Formel gültig
ist.
(4 p)
G = ∀x P (x) → ¬P (f (x)) ∧ ∃x ¬P (f (x)) → P (x) → ∃x P (x) ∧ ¬P (f (x)) .
Aufgabe 36
Mögliche Resolventen
(4 Punkte)
Gegeben sei das folgende Paar von Klauseln:
{P (x, f (y)), ¬Q(f (x)), ¬Q(y)} und {¬P (f (x), f (x)), Q(f (y))},
wobei x und y Variablen sowie P und Q Prädikatsymbole sind und f ein Funktionssymbol ist.
Bestimmen Sie alle prädikatenlogischen Resolventen, die sich aus dem Paar von Klauseln
herleiten lassen. Sie brauchen dabei nur solche Resolventen zu betrachten, die sich durch
unterschiedliche allgemeinste Unifikatoren herleiten lassen. Resolventen, die sich nur durch
Variablenumbenennung voneinander unterscheiden, sollen nur einmal angegeben werden.
Beispiel: Für die beiden Klauseln {P (x, y), Q(x)} und {¬Q(f (x))} reicht es aus, den Resolventen
{P (f (z), y)} anzugeben. Ein anderer Resolvent wäre zwar {P (f (u)), y)}, allerdings unterscheiden
sich die beiden Resolventen nur durch eine Variablenumbenennung.
Aufgabe 37
Männer mit Bärten
(8 Punkte)
Gegeben seien die folgenden Fakten:
(i) Jeder Barbier rasiert alle Männer, die sich nicht selbst rasieren.“
”
(ii) Kein Barbier rasiert jemanden, der sich selbst rasiert.“
”
Wir wollen zeigen, dass sich aus diesen beiden Aussagen die Behauptung
Es gibt keine Barbiere.“
”
folgern lässt.
(a) Formalisieren Sie die Aussagen (i) und (ii) und die Behauptung als prädikatenlogische
Formeln F1 , F2 bzw. F3 . Verwenden Sie das Prädikat B(x) für die Aussage x ist Barbier“
”
und das Prädikat R(x, y) für die Aussage x rasiert y“.
(3 p)
”
(b) Zeigen Sie mittels prädikatenlogischer Resolution, dass die Formel F1 ∧ F2 → F3 gültig
ist.
(5 p)
(Insgesamt werden für diese Übungsaufgaben 20 Punkte vergeben.)