Lösungen zum Aufgabenblatt 5 Logik und modelltheoretische

Lösungen zum Aufgabenblatt 5
Logik und modelltheoretische Semantik
Universität München, CIS, SS 2014
Hans Leiß
Abgabetermin: Do, 22.5.2014
Aufgabe 5.1 Zeige, daß für beliebige Formeln ϕ(x) und ψ(x) die Aussage
(∀xϕ ∨ ∀xψ) → ∀x(ϕ ∨ ψ)
allgemeingültig (in jeder Struktur A wahr) ist, aber nicht die umgekehrte“ Aussage
”
∀x(ϕ ∨ ψ) → (∀xϕ ∨ ∀xψ).
Gib für den zweiten Teil ein Gegenbeispiel an!
(4 Punkte)
Lösung von Aufgabe 5.1 Erster Teil: Sei A eine Struktur mit A |= ∀xϕ ∨ ∀xψ. Dann ist
mindestens eines der Disjunktionsglieder in A wahr, etwa A |= ∀xϕ. Für beliebiges a ∈ A ist
also [[ϕ]]A
[x/a] = 1 und damit auch
A
A
[[(ϕ ∨ ψ)]]A
[x/a] = max{[[ϕ]][x/a] , [[ψ]][x/a] } = 1.
Da das für alle a ∈ A gilt, ist [[∀x(ϕ ∨ ψ)]]A = 1, also
A |= ∀x(ϕ ∨ ψ).
Damit ist gezeigt, daß (∀xϕ ∨ ∀xψ) → ∀x(ϕ ∨ ψ) in jeder Struktur A wahr ist.
Zweiter Teil: Sei P ein einstelliges Relationszeichen, und ϕ(x) := P (x), ψ(x) = ¬P (x). Sei
A = (A, P A ) mit ∅ =
6 P A 6= A, etwa a, b ∈ A mit a ∈ P A , b ∈
/ P A . Offenbar ist
A |= ∀x(ϕ ∨ ψ), d.h. A |= ∀x(P (x) ∨ ¬P (x)),
aber
A 6|= ∀xϕ
wegen b ∈
/ P A,
und
A 6|= ∀xψ
wegen a ∈ P A .
Also ist A eine Struktur, in der ∀x(ϕ ∨ ψ) → ∀xϕ ∨ ∀xψ nicht wahr ist.
Aufgabe 5.2 Sei ϕ := ∀x(∃yR(x, y, z) ∨ ∀zS(x, y, z)) mit paarweise verschiedenen Variablen
x, y, z. Berechne in einzelnen Schritten:
(a) eine pränexe Normalform, deren Quantorenpräfix von der Art ∀∃∀ ist,
(1 Punkt)
(b) eine pränexe Normalform, deren Quantorenpräfix von der Art ∀∀∃ ist,
(1 Punkt)
(c) aus jeder der beiden pränexen Normalformen jeweils eine Skolem-Normalform, (1 Punkt)
(d) die Ergebnisse der Einsetzungen ϕ(x/f (x, z)), ϕ(y/f (x, z)), ϕ(z/f (x, z)).
(3 Punkte)
Man muß bei (a) und (b) Äquivalenzen von den Folien (S.66) in geeigneter Reihenfolge anwenden!
Lösung von Aufgabe 5.2
(a)
∀x(∃yR(x, y, z) ∨ ∀zS(x, y, z)) ≡ ∀x(∃ỹR(x, ỹ, z) ∨ ∀z̃S(x, y, z̃))
≡ ∀x∃ỹ(R(x, ỹ, z) ∨ ∀zS(x, y, z))
≡ ∀x∃ỹ∀z̃(R(x, ỹ, z) ∨ S(x, y, z̃))
(b)
∀x(∃yR(x, y, z) ∨ ∀zS(x, y, z)) ≡ ∀x(∃ỹR(x, ỹ, z) ∨ ∀z̃S(x, y, z̃))
≡ ∀x∀z̃(∃ỹR(x, ỹ, z) ∨ S(x, y, z̃))
≡ ∀x∀z̃∃ỹ(R(x, ỹ, z) ∨ S(x, y, z̃))
(c)
(∀x∃ỹ∀z̃(R(x, ỹ, z) ∨ S(x, y, z̃)))SKN
(∀x∀z̃∃ỹ(R(x, ỹ, z) ∨ S(x, y, z̃)))
SN F
= ∀x∀z̃(R(x, f (x), z) ∨ S(x, y, z̃))
= ∀x∀z̃(R(x, f (x, z̃), z) ∨ S(x, y, z̃))
(d)
ϕ(x/f (x, z)) = ∀x(∃yR(x, y, z) ∨ ∀zS(x, y, z))(x/f (x, z))
= ∀x(∃yR(x, y, z) ∨ ∀zS(x, y, z)), da x ∈
/ frei (ϕ)
ϕ(y/f (x, z)) = ∀x(∃yR(x, y, z) ∨ ∀zS(x, y, z))(y/f (x, z))
= ∀x̃[(∃yR(x, y, z) ∨ ∀zS(x, y, z))[x/x̃][y/f (x, z)]], da x ∈ frei (f (x, z))
= ∀x̃([∃yR(x, y, z)][x/x̃][y/f (x, z)] ∨ [∀zS(x, y, z)][x/x̃][y/f (x, z)]),
= ∀x̃([∃yR(x̃, y, z)][y/f (x, z)] ∨ [∀zS(x̃, y, z)][y/f (x, z)]), da y ∈
/ frei (∃yR(. . .))
= ∀x̃(∃yR(x̃, y, z) ∨ ∀z̃[S(x̃, y, z)][z/z̃][y/f (x, z)]),
= ∀x̃(∃yR(x̃, y, z) ∨ ∀z̃S(x̃, f (x, z), z̃)),
ϕ(z/f (x, z)) = . . . (analog) . . .
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