Ppxq ôfpxq 1

Fachbereich 6 Mathematik
Lehrstuhl für Mathematische Logik und
Theoretische Informatik
Prof. Dr. Dieter Spreen
Dr. Hannes Diener
Grundlagen der Theoretischen Informatik, WS10/11
Übungsblatt 9, Abgabe bis zum 21. Januar1
• In jeder Aufgabe können 5 Punkte erreicht werden.
• Es wird erwartet, daß Sie diese Aufgaben alleine bearbeiten.
• Bitte geben Sie Ihre Lösungen in gut leserlicher und sauberer Form ab.
• Begründen Sie Ihre Antworten und argumentieren Sie nachvollziehbar.
Aufgabe 1. Ein n-stellges Prädikat P auf den natürlichen Zahlen heisst entscheidbar, wenn es eine
totale, µ-rekursive Funktion f : Nn Ñ t0, 1u gibt, so dass für all x P Nn gilt:
P pxq ô f pxq 1
(Beachten Sie die Ähnlichkeit zur Definition einer entscheidbaren Menge). Zeigen Sie, dass die folgenden Prädikate entscheidbar sind:
(a) Die zweistelligen Prädikate ¤, , ¥, ¡, .
(b) Zeigen Sie, dass die Menge der entscheidbaren Prädikate unter den logischen Verknüpfungen
^, _, abgeschlossen ist.
(c) Zeigen Sie, dass die Menge der entscheidbaren Prädikate unter dem beschränkten Existenzquantor abgeschlossen ist. D.h. zeigen Sie, dass wenn P ein n 1-stelliges entscheidbares
Prädikat ist, dann ist
Di ¤ nP p~x, iq
ein n-stelliges entscheidbares Prädikat.
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Abgabe am Besten in der Vorlesung. Alternativ können Lösungen auch persönlich bei Hannes Diener (EN-B 0123),
im Sekretariat der theoretischen Informatik (EN-B 0121) oder bei einem der Übungsgruppenleitern (H-A 8104) abgegeben
werden. Verwenden Sie auf keinen Fall den Briefkasten des Lehrstuhls.
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Aufgabe 2. In der Vorlesung wurde der Fixpunktsatz als Folgerung des Rekursionssatzes bewiesen.
Leiten Sie auch anderstherum den Rekursionssatz direkt aus dem Fixpunktsatz her.
Aufgabe 3. (Zum Begriff der Indexmenge)
Sei pΦ, Ψq ein zulässiges Programmiersystem, welches eine s-m-n-Funktion s besitzt, so daß λi, j.spi, 1, j q
injektiv ist. Welche der Mengen K0 und Kd sind Indexmengen? (Begründen Sie Ihre Antwort.)
Aufgabe 4. (Zur Reduzierbarkeit)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen für zwei Mengen A, B
stem pΦ, Ψq:
(a) A ¤ B
ðñ
Ā ¤ B̄;
H, N, dann ist A ¤ B;
tx P N | Φx ist total und konstantu ¤ tx P N | Φx Z u.
(b) ist A entscheidbar und B
(c)
ENDE
2
„ N und ein zulässiges Programmiersy-