LDS Ü11

Prof. Martin Hofmann, PhD
Dr. Steffen Jost
Ludwig-Maximilians-Universität München
Institut für Informatik
10. Juli 2017
11. Übung zur Vorlesung
Logik & Diskrete Strukturen
A11-1 Modelle II
Gegeben ist folgende prädikatenlogische Formel in einer Sprache mit
lediglich einem 2-stelligem Prädikatensymbol R:
∀x . ∀y . ¬R(y, x) ⇒ ¬R(x, y) ∧ ∀x . ¬R(x, x) ∧ ∀x . ∃y . R(x, y)
a) Finden Sie eine (nicht-triviale) Struktur A, welche ein Modell für die Formel ist.
b) Geben Sie weiterhin eine (nicht-triviale) Struktur B, welche kein Modell für die oben
gegebene Formel ist, aber trotzdem ein Modell für die Teilformel ∀x . ∃y . R(x, y) ist.
Begründen Sie jeweils kurz, warum die Ihre angegebene Struktur ein Modell bzw. kein Modell
ist. Ihre nicht-trivialen Strukturen sollten jeweils eine Trägermenge mit mindestens 4 Elemente
beinhalten.
A11-2 Resolution III
a) Definiere eine Sprache erster Stufe, wo sich folgende Aussagen ausdrücken lassen, und
gibt die entsprechenden Formeln an:
i) Alle Menschen sind sterblich.
ii) Alle Philosophen sind Menschen.
iii) Sokrates ist ein Philosoph.
iv) Sokrates ist sterblich.
b) Zeige mit dem Resolutionsverfahren, dass die vierte Aussage aus den ersten drei folgt.
A11-3 Halbgruppe, Monoid oder Gruppe
Entscheiden Sie für jede der folgenden Algebren, ob es sich um eine Halbgruppe, ein Monoid oder eine Gruppe handelt! Geben Sie
für jedes Monoid und jede Gruppe das neutrale Element an, so wie möglichst ein echtes,
nicht-triviales Untermonoid bzw. Untergruppe!
a) hZ, −i, also ganze Zahlen mit der Subtraktion als Verknüpfung.
b) {n ∈ N | n > 0}, +
c) {a, b}∗ , ·i, also alle Wörter über dem Alphabet {a,b}, wobei · die Konkatenation ist
d) {a}, , mit a a = a.
e) {0, 2, 4, . . . , 28}, +30 , wobei +30 die Addition modulo 30 ist.
f) hR × R, mi, wobei m(x, y) dem Mittelpunkt der Strecke von x nach y berechnet
H11-1 Modelle III
(0 Punkte; Abgabe: H11-1.txt oder H11-1.pdf)
Geben Sie zu jeder der folgenden Formeln, falls möglich, jeweils ein nicht-triviales Modell und
ein Gegenmodell an. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort kurz!
a) ∀x∀y . Q(x) ∧ P (x, y) ⇒ Q(y)
b) ∀x∃z . Q(x, z) ⇒ ∀y . ¬Q(x, y)
H11-2 Resolution IV
(6 Punkte; Abgabe: H11-2.txt oder H11-2.pdf)
Gegeben ist eine prädikatenlogische Sprache mit einem einem 2-stelligem Prädikat P , einem
1-stelligem Prädikat Q, und einem 0-stelligem Prädikat k.
a) Welche drei Schritte sind durchzuführen, bevor mit dem Resolutionsverfahren für die
Prädikatenlogik bewiesen werden kann, dass folgende Formel allgemeingültig ist?
¬∀x . P (x, k) ⇒ ¬Q(x) ∧ ∃y . P (y, x) ∧ Q(x)
Geben Sie zusätzlich die Klauselmenge an, mit der dann das Resolutionsverfahren beginnen würde. Beschreiben Sie kurz die Schritte, welche Sie durchgeführt haben, um die
Klauselmenge zu erhalten. Die Resolution selbst müssen Sie nicht ausführen.
b) Beweisen Sie mit dem Resolutionsverfahren die Unerfüllbarkeit folgender Klauselmenge:
K1 = {P f (x), x , Q(x)} K2 = {¬P (k, x)} K3 = {¬Q f (k) } K4 = {¬P x, f (y) }
Damit wir Ihre Lösung nachvollziehen können: Geben Sie für jeden Resolutionsschritt
explizit an, welche Klauseln mit welchen Substitutionen jeweils verwendet werden!
H11-3 Monoidhomomorphismem (4 Punkte; Abgabe: H11-3.txt oder H11-3.pdf)
Es seien h1 : M → N und h2 : N → K Homorphismen auf den Monoiden (M, +), (N, ) und
(K, ×). Zeigen Sie, dass die Komposition zweier Homomorphismem (h2 ◦ h1 )(m) = h2 h1 (m)
wieder ein Homomorphismus ist! Begründen Sie jeden einzelnen Rechenschritt kurz.
Abgabe: Lösungen zu den Hausaufgaben können bis Sonntag, den 16.7.2017, mit UniWorX
nur als .zip abgegeben werden. Aufgrund des Klausurbonus müssen die Hausaufgaben von
Ihnen alleine gelöst werden. Abschreiben bei den Hausaufgaben gilt als Betrug und kann zum
Ausschluss von der Klausur zur Vorlesung führen. Bitte beachten Sie auch die Hinweise zum
Übungsbetrieb auf der Vorlesungshomepage (www.tcs.ifi.lmu.de/lehre/ss-2017/lds).