Versicherungsmathematik - Fachbereich Mathematik und Statistik

Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik
Dr. Volker Bürkel
Wintersemester 2012/13
Versicherungsmathematik
5. Übungsblatt
test test
Aufgabe 5.1 Wir betrachten ein Erneuerungsmodell mit Schadenshöhen Xk , Inter-Arrivalk]
Times Wk und einer Prämienhöhe c mit E[X
E[Zk ] < c (die net-profit-Bedingung ). Sei Zk = Xk −cWk .
Falls die Moment-erzeugende Funktion mZk (t) für |t| < h0 mit einem geeigneten h0 existiert und
die Gleichung in r
mZk (r) = 1
eine eindeutige, strikt positive Lösung hat, so nennen wir diese Lösung r den Anpassungskoeffizienten .
Bestimmen Sie den Anpassungskoeffizienten r für eine Gesamtschadensverteilung mit Xk ∼
Exp( µ1 ) und Wk ∼ Exp(λ) (also beide exponentialverteilt, Xk mit Parameter 1/µ > 0 und Wk
mit Parameter λ > 0, das Erlang-Modell ).
Hinweis: Die Wk und Xk sind unabhängig.
Aufgabe 5.2 Sei Zk = Xk − cWk . Wir möchten (ohne Verwendung des Satzes vom iterierten
Logarithmus) eine grobe Abschätzung für ψ(u) im Falle E[Zk ] = 0 gewinnen.
P
Seien also Z1 , Z2 , . . . iid mit E[Zk ] = 0 und endlicher Varianz, Sn := nk=1 Zk und ψ(u) :=
P (maxn≥1 Sn > u) für u > 0.
Zeigen Sie (unter Verwendung des zentralen Grenzwertsatzes), dass
1
lim ψ(u) ≥ 1 − Φ(0) = ,
u→∞
2
wobei Φ die kumulative Verteilngsfunktion der Standard-Normalverteilung ist. Beachten Sie,
dass ψ(u) ≥ P (Sn > u) für alle n.
Aufgabe 5.3 Sei S = S(t) ein Geamtschadensprozess im Erneuerungsmodell mit Wk ∼
Exp(λ), also mit einem Poisson-Prozess N (t). Die Moment-erzeugende Funktion mX (l) von
X existiere für |l| < h0 . Sei t > 0 und u > 0.
1. Zeigen Sie, dass mS(t) (l) für |l| < h0 existiert. Welche Gestalt hat die Moment-erzeugende
Funktion von S(t)?
2. Für a ∈ (0, h0 ) betrachten wir die Nutzenfunktion
va (y) := 1 − e−ay .
Zeigen Sie, dass es ein eindeutiges c > 0 gibt, sodass für U (t) := u+ct−S(t) die Gleichheit
E[va (u)] = E[va (U (t))]
besteht. c hängt nicht von t ab.
3. Wir fassen c = c(a) als Funktion von a ∈ (0, h0 ) auf. Zeigen Sie, dass c(a) → λE[Xk ] für
a → 0.
Aufgabe 5.4 Wir betrachten ein kollektives Modell mit Erneuerungsprozess N . Sei E[X1 ] < ∞
und c erfülle strikt die Net-Profit-Condition (siehe A5.1). Sie können annehmen, dass die Verteilung von X1 eine Dichte besitzt.
1. X1 ≥ 0 sei unbeschränkt (d. h. es sei P (|X| < C) < 1 für alle C > 0).
PZeigen Sie, dass dann
auch Z1 = X1 − cW1 unbeschränkt ist und folgern Sie, dass Sn = nk=1 Zk unbeschränkt
ist.
2. Zeigen Sie unter den obigen Voraussetzungen, dass Sn → −∞, P −a.s. und also P (supn≥1 Sn <
∞) = 1.
Aufgabe 5.5 Wir betrachten ein Erneuerungsmodell (i.e. kollektives Modell mit Erneuerungsprozess N ). Die Prämie c sei so, dass E[Zk ] = 0. Wir nehmen an, dass
P W1 und X1 endliche
zweite Momente haben und setzen σ 2 := var(Z1 ). Sei wie üblich Sn = nk=1 Zk . Zeigen Sie:
Sn
P
p
→ 0, n → ∞ (Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit).
2
2σ n ln(ln(n))
Besprechung: Montag, den 14.1.2013 in den Übungen, der Raum wird noch bekannt gegeben.