3. Übungsblatt zur Angewandten Algebra

Fachrichtung Mathematik · Institut für Algebra · Modul Math Ma ANGALG
WiSe 2014/15
Dr. Jens Zumbrägel
17. Nov. 2014
3. Übungsblatt zur Angewandten Algebra
Polynome, Faktorisierung
P
1. Sei R ein kommutativer Ring, f = ni=0 ai X i ∈ R[X] ein Polynom und u ∈ R. Die
Auswertung f (u) an der Stelle u ergibt sich durch Berechnen von f mod (X − u).
Vereinfache den Algorithmus Division mit Rest“ für diesen Spezialfall.
”
2. Sei K ein Körper. Für d ∈ N sei Pd := {f ∈ K[X] | deg f < d}. Seien f, g ∈ K[X]
mit deg f = n, deg g = m. Betrachte die K-lineare Abbildung
ϕ : Pm × Pn → Pn+m ,
(a, b) 7→ af + bg .
Zeige: Es ist ggT(f, g) = 1 genau dann, wenn ϕ ein Isomorphismus ist.
Wie sieht die Matrix von ϕ bezüglich der Standardbasis (X i )0≤i<d von Pd aus?
3. Sei K ein Körper und f ∈ K[X]. Zeige:
a) Es hat f eine doppelte Nullstelle in α ∈ K (das heißt (X − α)2 | f ) genau dann,
falls f α = f ′ α = 0, also falls (X − α) | ggT(f, f ′ ).
b) Sei char K 6= 2 und f = aX 2 + bX + c mit a 6= 0. Dann hat f genau dann keine
doppelte Nullstelle, falls ggT(f, f ′ ) = 1. Finde mittels 2. ein Kriterium hierfür.
4. Sei µ die Möbiusfunktion und ϕ die Eulerfunktion. Zeige für n ∈ N>0 die Identität
X µd
ϕn
=
.
d
n
d|n
5. Betrachte die Gleichung x2 + ux + v = 0 mit u, v ∈ Fq .
a) Zeige für q ungerade: Die Gleichung ist genau dann lösbar über Fq , wenn u2 − 4v
ein Quadrat in Fq ist.
b) Zeige für q gerade und u 6= 0: Die Gleichung ist genau dann lösbar über Fq , wenn
v/u2 von der Form z 2 + z für ein z ∈ Fq ist.
6. Sei q ungerade. Um Nullstellen von Polynomen über Fq zu berechnen kann man eine
Vereinfachung der Cantor-Zassenhaus-Faktorisierung benutzen:
Q
a) Sei S := {a ∈ F∗q | a ist ein Quadrat}.
Zeige, dass X (q−1)/2 − 1 = a∈S (X − a)
Q
und somit (X − c)(q−1)/2 − 1 = a∈S (X − a − c) gilt.
b) Sei f ∈ Fq [X] ein quadratisches Polynom mit zwei verschiedenen Nullstellen.
Wenn c ∈ Fq zufällig ist, so liefert
ggT (X − c)(q−1)/2 − 1 , f .
mit Wahrscheinlichkeit ≈ 12 einen Linearfaktor von f .
c) Berechne eine Quadratwurzel von 2 in F17 . Betrachte hierfür f := X 2 − 2 ∈ F17 [X]
und verwende c = 3.